Theorie des Potentials und der Kugelfunktionen. Bd. II. (Q1463072)

Über den ersten Band des Werkes ist F. d. M. 40, 833 (JFM 40.0833.*), 1909 berichtet. Der vorliegende Band beginnt mit der Transformation des Laplaceschen Differentialausdrucks auf beliebige orthogonale Koordinaten und entwickelt dann (Abschnitt I) auf 89 Seiten die wichtigsten Eigenschaften der Kugelfunktionen. Dabei wird auch auf die Differentialgleichung der einfachen Kugelfunktionen für den Fall eingegangen, daß der Parameter \(n\) keine ganze Zahl ist. Es wird ein einfacher Beweis dafür gegeben, daß jene Differentialgleichung dann kein Integral besitzt, das für \(x = + 1\) und \(x = - 1\) endlich ist. Das Gleiche wird auch für die zugeordneten Kugelfunktionen abgeleitet, falls der Nebenindex \(\nu\) größer als der Hauptindex \(n\) ist. Beide Resultate sind, was oft übersehen wird, wesentlich bei der Behandlung des Potentials auf Grund der auf räumliche Polarkoordinaten transformierten Laplaceschen Gleichung. Der Beweis für die Entwickelbarkeit einer auf der Kugel gegebenen Funktion nach allgemeinen Kugelfunktionen wird nach Dini gegeben mit den Ergänzungen von Heine. Es folgen (Abschnitt II) die Anwendungen der Kugelfunktionen auf Massen, die von konzentrischen Kugeln begrenzt oder auf Kugelflächen ausgebreitet sind, einschließlich der beiden Randwertaufgaben und der Elektrizitätsverteilung. Den Schluß dieses Abschnittes bildet die Anwendung der Transformation durch reziproke Radien in der Potentialtheorie. Weitere Anwendungen der Kugelfunktionen enthält der Abschnitt III, in dem die Potentialaufgaben für verlängerte und abgeplattete Rotationsellipsoide sowie für exzentrische Kugeln erledigt werden. In beiden Abschnitten (II und III) werden die allgemeinen Formeln durch Anwendung auf spezielle Aufgaben erläutert. So wird in III das bekannte Problem der Elektrizitätsverteilung auf zwei Kugeln mittels bipolarer Koordinaten gelöst, und zwar in einer Form, die auf ganz anderem Wege von Darboux abgeleitet ist. Im letzten Abschnitt (IV) werden zunächst einige allgemeine Sätze von Gauß abgeleitet, und dann werden die Randwertaufgaben für beliebige geschlossene Flächen behandelt, und zwar zunächst die Lösung mittels der Greenschen Funktion, dann das Dirichletsche Prinzip, endlich die C. Neumannsche Methode des arithmetischen Mittels. Die sich aus der letzteren Methode ergebenden allgemeinen Formeln werden auf die Kugelfläche angewandt. -- Auf die Lösung der ersten Randwertaufgabe mittels einer Integralgleichung wird am Schluß kurz hingewiesen.