Maximum und Minimum einer harmonischen Funktion auf Kreisen. (Q1463085)

Aus der Tatsache, daß eine harmonische Funktion im Innern ihres Regularitätsbereiches kein Extremum besitzt und daraus, daß log \(r\) eine mit Ausnahme des Nullpunktes reguläre harmonische Funktion ist, wird der Satz erschlossen: ``Ist \(u(x,y)\) eine in einem Kreisring um den Nullpunkt reguläre harmonische Funktion, so ist in diesem Ringgebiet das Maximum \(M(r)\) von \(u(x, y)\) auf dem Kreise vom Radius \(r\) eine konvexe Funktion von log \(r\).'' Für eine in dem Kreisring reguläre analytische Funktion \(f(z)\) wird hieraus durch Betrachtung der harmonischen Funktion \(\log |f(z)|\) der Hadamardsche Dreikreisesatz abgeleitet. Es bedarf dabei nur einer kleinen Überlegung, daß die Nullstellen von \(f(z)\) die Schlußweise nicht stören. Für ein wurzelfreies Ringgebiet wird dann, über den Hadamardschen Dreikreisesatz hinausgehend, bewiesen, daß auch \(\underset{|z|=r}{\text{Max}}|\log |f(z)||\) eine konvexe Funktion von log \(r\) ist.