Sur certains modes de détermination des solutions de \(\varDelta u=\omega ^2u\). (Q1463106)

Der Verf. beschäftigt sich mit der eindeutigen Bestimmung einer Lösung von \[ \dfrac{\partial ^2u}{\partial x^2}+\dfrac{\partial ^2u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial ^2u}{\partial z^2}=\omega^2u \quad (\omega \;\text{reell positiv}) \tag{1} \] in einem sich ins Unendliche erstreckenden Gebiete \(D\). Es gilt folgender Eindeutigkeitssatz: Eine Lösung von (1), die in \(D\) analytisch ist und auf der Begrenzung \(S\) verschwindet, verschwindet in ganz \(D\), wenn für beliebig große \(r =\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\) eine Ungleichung der Art \[ |U| <f(r)= \dfrac{\varepsilon(r)e^{\omega r}}{r}, \quad \lim_{r=\infty}\varepsilon(r)= 0 \] besteht. Erfüllt das Gebiet \(D\) eine besondere Bedingung, so kann der Eindeutigkeitssatz verschärft werden. Insbesondere können im Falle der Laplaceschen Gleichung \((\omega = 0)\) schärfere Aussagen gemacht werden.