Über die asymptotische Integration partieller Differentialgleichungen mit Parameter. 1. Mitteilung. (Q1463134)

Diese vergleicht die etwa durch ihre Werte längs der Charakteristiken \(x = x_0\), \(y=y_0\) bestimmte Lösung der hyperbolischen Differentialgleichung \[ \dfrac{\partial^2y}{\partial x\partial y} + \left(C(x,y)+\varrho^2\right)u = 0 \] mit der durch die gleichen Randbedingungen festgelegten Lösung von \[ \dfrac{\partial^2w}{\partial x\partial y} + \varrho^2w = 0; \] sind diese Randbedingungen so beschaffen, daß \(w\) in einem Rechteck bei beliebig wachsendem \(\varrho\) gleichmäßig beschränkt ist, so wird gezeigt, daß für große \(\varrho\) gleichmäßig \[ u(x,y) = w(x,y) + O(\varrho^{-1/3}). \] Der Beweis beruht auf der klassischen Riemannschen Darstellung der Funktionen \(u\), \(w\) durch Integrale über das Charakteristikenrechteck; durch ihre Vergleichung entsteht eine Volterrasche Integralgleichung zwischen \(u\), \(w\), deren Kern -- die Riemannsche Funktion der Differentialgleichung -- als eine Besselsche Funktion angebbar ist und bekanntes einfaches asymptotisches Verhalten in \(\varrho\) hat.