Fondamenti di calcolo delle variazioni. I. (Q1463154)

In dem groß angelegten Werke, dessen zweiter Band mittlerweile (1924) ebenfalls erschienen ist, gibt der Verf., der seit 1907 eine ganze Reihe von Abhandlungen über Variationsrechnung, vorbereitenden wie definitiven Charakters, veröffentlicht hatte, eine systematische, auf einen einheitlichen Ton gestimmte Darstellung seiner Untersuchungen. Bekanntlich ist es dem Verf. gelungen, die Behandlung des ``absoluten Extremums'', die seit den Arbeiten Hilberts und seiner Nachfolger eine besondere Bedeutung gewonnen hatte, auf eine neue breitere Basis zu stellen und u. a. auch in dem Falle des isoperimetrischen Problems mit Erfolg durchzuführen. Das ganze Werk stellt einen wertvollen Versuch, die eindimensionale Variationsrechnung, im wesentlichen von diesem Standpunkte aus, systematisch zu entwickeln. Da dies nicht ohne weitgehende Benutzung von Methoden der neueren Theorie reeller Funktionen, die noch nicht Allgemeingut geworden sind, durchzuführen war, so hat der Verf. in dem vorliegenden ersten Bande, der demnach einen vorbereitenden Charakter hat, die in Betracht kommenden Lehren zusammengestellt. Auch hierbei stützt er sich wesentlich auf eine Reihe eigener Untersuchungen aus den früheren Jahren. Um es sogleich vorwegzunehmen, bietet ein großer Teil des Inhalts dieses Bandes, auch unabhängig von jeder Anwendung auf die Variationsrechnung, ein erhebliches selbständiges Interesse -- dies ebenso sehr wegen der reiflich durchdachten Anlage des Ganzen wie wegen zahlloser Einzelheiten. Von hohem Interesse ist z. B. die Art und Weise, wie das Lebesguesche Integral eingeführt wird. Da der Verf. von dem Zermeloschen Auswahlprinzip keinen Gebrauch macht, so sieht er sich hier wie an manchen anderen Stellen veranlaßt, eigene Wege zu gehen, auch öfter Einschränkungen einzuführen, die sich sonst vermeiden ließen, die jedoch nirgends den Gültigkeitsbereich seiner wesentlichen Ergebnisse vermindern oder die Darstellung unangenehm kompliziert machen. Ganz im Gegenteil ist die Darstellung durchweg außerordentlich klar und durchsichtig -- die Aussagen einzelner Sätze bei aller Exaktheit stets leicht faßbar. Alles dies macht die Lektüre des mit behaglicher Breite geschriebenen Werkes zu einem wirklichen Genuß. Nun zu dem Inhalt im Einzelnen. Nach einigen allgemeinen Betrachtungen historischen Charakters (S. 1-29) wird in dem ersten Kapitel (S. 32-69) der Begriff einer stetigen sowie einer rektifizierbaren Kurve eingeführt. Man findet hier u. a. Ausführungen über Funktionen (einer Variablen) von beschränkter Schwankung und totalstetige Funktionen, rektifizierbare Kurven u. dgl. Die Sätze von Lebesgue, betreffend die Existenz der Tangente einer stetigen, rektifizierbaren Kurve, wie auch über die Existenz der Ableitung einer stetigen Funktion beschränkter Schwankung werden in eleganter Weise unter ausschließlicher Benutzung konstruktiver Methoden bewiesen. Der allgemeine Maßbegriff wird dabei noch garnicht gebraucht. Das zweite Kapitel (S. 71-105) ist Betrachtungen über Funktionenmengen und Kurvenmengen gewidmet: Häufungsfunktionen und Häufungskurven, Grenzfunktionen und Grenzkurven, Funktionen von ``gleichartiger'' Stetigkeit (funzioni ugualmente continue), Sätze von Arzelà und Ascoli (Beweis ohne Benutzung des Auswahlprinzips), ein Satz von Hilbert über Häufungskurve einer Menge beschränkter rektifizierbarer Kurven, deren Längen unterhalb einer festen Schranke liegen, ``approximative'' Konvergenz einer Folge von Funktionenmengen (mit ``convergenza in misura'' nach F. Riesz gleichbedeutend) u. s. w. Drittes Kapitel: ``Pseudointervalle'' und ``quasistetige'' Funktionen (S. 107-142). Ein ``Pseudointervall'', das einem endlichen Intervalle angehört, ist mit einer im Lebesgueschen Sinne meßbaren Punktmenge gleichbedeutend. Eine in \((a, b)\) erklärte (in jedem Punkte endliche) Funktion wird quasistetig genannt, wenn mindestens eine Regel existiert, die jeder natürlichen Zahl \(n\) eine abgeschlossene Punktmenge \(E^{(n)}\) in \((a, b)\) zuordnet, deren Maß \(> (b - a) - \dfrac{1}{n}\) ist, und auf der \(f(x)\) stetig ist. Funktionen aller Baireschen Klassen, d. h. alle analytisch darstellbaren Funktionen, sind quasistetig. Nach Auffassung des Verf. sind zur Zeit Funktionen, die nicht quasistetig wären, tatsächlich nicht bekannt. Nachdem im dritten Kapitel allgemeine Eigenschaften der Pseudointervalle und quasistetigen Funktionen entwickelt worden sind, wird unter Zugrundelegung dieser Grundbegriffe im nächstfolgenden vierten Kapitel (S. 143-198) das Lebesguesche Integral für beschränkte und nicht beschränkte Funktionen eingeführt. Damit ist der erste Abschnitt des Bandes zu Ende. Der zweite (Kapitel V bis VIII) behandelt Funktionen von Linien und zwar in der Parameterdarstellung, der dritte (Kap. IX-XII) die gleichen Bildungen in der gewöhnlichen Darstellung. Hier wie dort treten bereits die hauptsächlichen Ausdrücke der Variationsrechnung auf, so das Integral \(\int Fds\), die Funktionen \(F_1\) und \(E\) der Weierstraßschen Theorie (in Parameterdarstellung), doch ohne nähere Beziehung zu einem Variationsproblem. Es handelt sich eben zunächst nur um eine systematische, peinlich genaue und vollständige Erforschung der Eigenschaften der fraglichen Ausdrücke. Den Angelpunkt der Tonellischen Theorie bildet der von Baire, freilich in einem ganz anderen Zusammenhang, eingeführte Begriff der Halbstetigkeit. In Anwendung auf das Kurvenintegral besagt dieser Begriff etwa folgendes: \(I\) ist auf einer rektifizierbaren Kurve \(C_0\) nach unten halbstetig, wenn jeder Zahl \(\varepsilon > 0\) sich ein Wert \(\varrho > 0\) zuordnen läßt, so daß für eine jede rektifizierbare Kurve \(C\) ``in der Umgebung \(\varrho\)'' von \(C_0\) \[ I_0 > I - \varepsilon, \;\text{ wo } \;I_0 = \int\limits_{C_0}, \;I = \int\limits_C, \] gilt. In den Kapiteln VI, VII, X und XI wird eine lange Reihe notwendiger und hinreichender Bedingungen für die Halbstetigkeit eines Integrals in der Parametergestalt wie in gewöhnlicher Fassung aufgestellt und bewiesen. Dazu kommen verschiedene Konvergenzsätze, die spätere Existenzsätze vorbereiten sollen.