Der Unabhängigkeitssatz für Doppelintegrale. (Q1463163)

Für das Doppelintegral \(\iint f (x, y, z, z_x, z_y)dxdy\) wird der Unabhängigkeitssatz bewiesen. Er lautet: Ist durch \(z=z(x,y)\) ein Extremalenfeld gegeben, dessen Gefällfunktionen gegeben sind durch \(z_x = p(x, y, z)\), \(z_y = q(x, y, z)\), so hängt das über ein Flächenstück erstreckte Integral \[ \iint\left\{(f-z_xf_{zx}-z_yf_{zy})dxdy - f_{zx}dydz f_{zy}dxdz\right\}, \] in dem zu setzen ist \(z_x = p(x, y, z)\), \(z_y = q(x, y, z)\), nur von der Randkurve dieses Flächenstückes ab (ist von der sonstigen Gestalt der Fläche unabhängig). Es ist also \[ \dfrac{\partial}{\partial z}(f - z_xf_{zx}-z_yf_{zy}) \dfrac{\partial}{\partial x}f_{zx} - \dfrac{\partial}{\partial y}f_{zy} = 0. \]