Über eine Verschärfung der isoperimetrischen Ungleichheit des Kreises in der Ebene und auf der Kugeloberfläche nebst einer Anwendung auf eine Minkowskische Ungleichheit für konvexe Körper. (Q1463172)

``Ist \(p\) der Umfang, \(f\) der Flächeninhalt einer ebenen Kurve, so besteht bekanntlich die Ungleichung \[ \frac{p^2}{4\pi} - f \geqq 0, \] wobei das Gleichheitszeichen nur für den Kreis gilt. Bei dem Versuch, diese Ungleichung mit elementargeometrischen Mitteln zu beweisen, gelangte ich zu folgender verschärften Ungleichung \[ \frac{p^2}{4\pi} - f \geqq \frac{\pi}{4} (R - r)^2, \] wo \(R\) den Radius des kleinsten die Kurve enthaltenden Kreises, \(r\) den Radius des größten der Kurve einschreibbaren Kreises bedeutet, und wo das Gleichheitszeichen wiederum nur für den Kreis gilt. Nach dem Beweise dieser isoperimetrischen Ungleichheit wird die analoge Ungleichheit auf der Kugel abgeleitet, und mit Hilfe der gewonnenen Resultate beweise ich dann die von Minkowski entdeckte Ungleichheit für konvexe Körper \[ \frac{k^2}{4\pi} - o \geqq 0, \] two \(o\) die Oberfläche und \(k\) das unten näher bezeichnete Konturintegral des Körpers bedeutet.''