La théorie du jeu et les équations intégrales à noyau symétrique. (Q1463194)

Ein Spiel sei auf \(n^\prime\) Arten \(C_h\) möglich; wenn \(A\) die Methode \(C_i\) und \(B\) die Methode \(C_k\) wählt, sei die Wahrscheinlichkeit des Gewinnes für \(A\) gleich \(\frac 12 + \alpha_{ik}\), offenbar also \(\alpha_{ik} = -\alpha_{ki}\). Eine Spielmethode \(C_i\) heiße schlecht, wenn \(\alpha_{ih} \leqq 0\) für alle \(h\) gilt; sie heiße weiterhin schlecht, wenn \(\alpha_{ih} \leqq 0\) für alle \(h\) außer jenen schlechtesten wird, usf., bis \(n\) sämtlich ``brauchbare'' Methoden verbleiben: diese allein seien nun betrachtet. Die Wahrscheinlichkeit der Wahl eines brauchbaren \(C_h\) für \(A\) heiße \(p_h\), für \(B\) ebenso \(q_h\), die Gewinnwahrscheinlichkeit für \(A\) sei \(\alpha\); man findet: \[ \alpha = \sum_{i, k = 1}^n \alpha_{ik} p_i q_k; \quad \alpha_{ik} = -\alpha_{ki}; \quad \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=1}^n q_k = 1. \] Für \(n > 3\) kann man zu jedem \(p\)-System i. a. solche \(q\) bestimmen, daß \(\alpha\) dabei ein vorgeschriebenes Vorzeichen erhält; \(B\) kann daher durch Kenntnis der zu erwartenden Methoden von \(A\) im ständigen Vorteil bleiben. Eine Übertragung auf kontinuierliche Verhältnisse ist formal möglich; man erhält mit Stieltjesschen Integralen \[ \begin{gathered} \alpha = \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty \alpha(x, y; \xi, \eta) \, dp(x, y)\, dq(\xi, \eta); \\ \alpha(x, y; \xi, \eta) = -\alpha(\xi, \eta; x, y); \\ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \, dp(x, y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \, dq(\xi, \eta) = 1. \end{gathered} \] Als Beispiel wird die Wahl je dreier positiver Zahlen \(a_h\) bzw. \(b_h\) für \(A\) und \(B\) mit der Bedingung \(a_1 + a_2 + a_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 1\) gegeben, mit dem Gewinn für denjenigen, bei dem zwei der gewählten Zahlen größer sind als die entsprechenden des Gegners. Zwecks Ausschaltung von Gewinnchancen für den Gegner wird in solchen Fällen empfohlen, möglichst planlos unter den gleich brauchbaren Methoden zu wählen; im Kriege, bei wirtschaftlichen Spekulationen u. dgl. könnte man ebenfalls nur so Nachteile vermeiden, die sonst die mögliche Kenntnis der eigenen Methodenwahl dem Gegner bieten würde. Die effektive Möglichkeit wird vom Verf. selbst vernünftigerweise bezweifelt; auch dürfte die tatsächliche Unkenntnis der \(\alpha_{ik}\) eine systematische Erlangung von Vorteilen bei gleich geschickten Spielern i. a. überhaupt ausschließen. (IV 7.)