Sur la détermination des lois de probailité par leurs fonctions caractéristiques. (Q1463197)

Bei der Zurückführung des klassischen Gaußschen Fehlergesetzes auf dasjenige der großen Zahlen werden gewöhnlich Hypothesen herangezogen, die zwar hinreichend, aber durchaus nicht notwendig sind; so setzt z. B. Poincaré u. a. voraus, daß die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) der wahrscheinliche Wert von \(e^{izx}\), eine Taylorentwicklung zuläßt. Verf. nimmt nun in der ersten Note an, es genügten bereits die zwei folgenden Grundannahmen: 1. es werden nur solche Fehlergesetze \(F(x)\) betrachtet, für die \(m^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty x^2 \, dF(x)\) endlich ist, wobei zu jedem \(\varepsilon > 0\) ein \(c = e(\varepsilon) >0\) derart -gleichmäßig für alle \(F(x)\) -- gefunden werden kann, daß der Integralteil \(\int\limits_c^\infty\) in \(m^2\) kleiner als \(\varepsilon\) ausfällt; 2. daß für jeden Fehler \(\mu\) unter allen betrachteten \(\mu_h\) dann gilt: \(\mu^2 < \varepsilon^2 \sum \mu_h^2\). Auf einen Fehler in der folgenden Betrachtung aufmerksam gemacht (vgl. untenst. Referat), verbessert er dann in der zweiten Note die Bedingung 1. dahin, daß vielmehr \(\int\limits_{-\infty}^{-c} + \int\limits_c^\infty\) kleiner als \(\varepsilon\) ausfallen muß; unter den so berichtigten Bedingungen konvergiert für \(\varepsilon \to 0\) wenigstens die charakteristische Funktion \(\varphi(z)\) gegen den entsprechenden Ausdruck beim Gaußschen Fehlergesetz \(\left( = -\dfrac{z^2}{2}\right)\). In der dritten Note wird zuletzt durch Heranziehung von Stetigkeitsbetrachtungen allein dargetan, daß damit auch das Fehlergesetz \(F(x)\) selbst für \(\varepsilon \to 0\) gegen das Gaußsche konvergiert.