Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. (Q1463203)

Es seien \(U_1(x), \dots, U_n(x)\) die Verteilungsfunktionen von \(u_1, \dots, u_n; U(x)\) sei die gleiche Funktion für \(u_1+\cdots +u_n; s(x)\) habe den Wert \(|x|^3\) für \(|x| \leqq 1\), \(x^2\) für \(|x| \geqq 1\). Es gelten die folgenden Sätze: I. Man kann bei jedem \(\varepsilon > 0\) \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] erreichen, sobald nur \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty |x|^3 \, dU_\mu(x) < \eta = \eta(\varepsilon) \] ist; \(\eta\) kann zu \(\varepsilon\) stets effektiv gefunden werden. II. Die Mittelwerte der \(u_\mu\) seien 0, ihre Absolutwerte kleiner als \(d_n\), ihre Streuungen \(\sigma_\mu\), \(\sum \sigma_\mu^2 = r_n^2\). Man hat \[ \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} r_n^{-1} e^{-r_n^{-2}\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon \] für \[ d_n < \eta r_n, \quad \eta = \eta(\varepsilon). \] III. \(\qquad \qquad \left|U(x) - \int_{-\infty}^x (2\pi)^{-\tfrac 12} e^{-\tfrac{t^2}{2}}\, dt\right| < \varepsilon\) \newline für \[ \sum_{\mu=1}^n \int_{-\infty}^\infty s(x)\, dU_\mu(x)<\eta =\eta(\varepsilon). \]