Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz. (Q1463204)

Gegeben sei das \(d\)-dimensionale System von Gitterpunkten mit nur ganzzahligen Koordinaten. Ein Punkt bewege sich mit der Geschwindigkeit 1 so, daß er nur parallel den Achsen Strecken von je einer Längeneinheit beschreibe; zwischen den \(2d\) gleich möglichen Richtungen entscheide der Zufall. 1. Strebt die Wahrscheinlichkeit, daß der Punkt in der Zeit \(0 < t \leqq n\) mindestens einmal den gegebenen Knotenpunkt \((\alpha_1, \dots, \alpha_d)\) passiere, mit zunehmendem \(n\) der Sicherheit entgegen? Antwort: \(d= 1, 2\) ja; \(d \geqq 3\) nein. \ 2. Es brechen zwei Punkte von zwei gegebenen Knotenpunkten auf und bewegen sich in der angegebenen Weise unabhängig voneinander. Strebt die Wahrscheinlichkeit, daß die Punkte innerhalb der Zeit \(0 < t \leqq n\) (mindestens einmal) sich begegnen, mit zunehmendem \(n\) der Sicherheit entgegen? Die Antwort ist die gleiche. Die Bedeutung des Aufsatzes liegt darin, daß sehr viele Aufgaben der Wahrscheinlichkeitsrechnung sich in die Form von Irrfahrten kleiden lassen.