Über die Wahrscheinlichkeit seltener Ereignisse. (Q1463205)

Die Wahrscheinlichkeit \(w_x\) dafür, daß bei einem \(n\) mal wiederholten Versuch, der auf eine einfache Alternative führt, in \(x\) Fällen derjenige Versuchsausgang eintritt, dessen Einzelwahrscheinlichkeit \(p\) ist, wird durch die bekannte Newtonsche Formel gegeben, Wächst die Zahl \(n\) der Versuche über alle Grenzen und nimmt dabei \(p\) ab, während die Erwartungszahl \(n\, p = a\) fest bleibt, so geht diese Formel für ein bestimmtes \(x\), wie Poisson gezeigt hat, in die Form über: \[ w_x = \frac{a^x e^{-a}}{x!}. \tag{1} \] Durch eine wesentliche Erweiterung der Poissonschen Ableitung wird hier gezeigt, daß der asymptotische Ausdruck (1) für die Wahrscheinlichkeit der Wiederholungszahl \(x\) auch dann gültig bleibt, \textit{wenn die Einzelwahrscheinlichkeiten von Versuch zu Versuch schwanken} (also die Newtonsche Formel, von der Poisson ausgegangen war, nicht mehr gilt), wofern nur die ``mittlere Erwartungszahl'' \(\sum\limits_{\iota =1}^n p_{\iota} = a\) fest bleibt, und das größte \(p_{\iota}\) mit \(1 : n\) von gleicher Ordnung klein wird. Die Ableitung erlaubt auch die Abweichung, die für eine endliche Zahl von Versuchen zwischen dem exakten Wert und der Näherungsformel (1) besteht, abzuschätzen. An einem Zahlenbeispiel wird dargelegt, daß die Abweichungen für praktische Zwecke kaum in Frage kommen; der Poissonsche Ausdruck (1) stellt bei genügend kleinem \(p\) und endlichem \(x\) eine sehr brauchbare Annäherung an den genauen Wert der Wahrscheinlichkeit schon bei nicht sehr großem \(n\) dar.