Das Problem der Iterationen. (Q1463206)

Marbe hatte behauptet, daß bei wiederholten Versuchen große Wiederholungszahlen desselben Ereignisses seltener auftreten, als es die Wahrscheinlichkeitsrechnung fordert. Zu berechnen ist also die Wahrscheinlichkeit \(w_n(x)\), dafür, daß bei \(n\) Alternativen mit den Grundwahrscheinlichkeiten \(p\) und \(q\) gerade \(x\) Iterationen eines Ereignisses von der Länge \(m\) auftreten. Diese Aufgabe läßt sich bei kleinen Wiederholungszahlen \(n\) einfach erledigen. Sobald jedoch der Umfang der Beobachtungsreihe groß ist, läßt sich dies nicht mehr durchführen. Der Verf. schlägt folgenden Weg ein, um den asymptotischen Ausdruck für \(w_n(x)\) zu erhalten. Es gelingt durch eine kombinatorische Betrachtungsweise, obere und untere Schranken für das \(\nu\)-te Moment der gesuchten Funktion anzugeben. Die Schranken fallen für unendliche Werte von \(n\) zusammen, so daß man die Limites, denen die Momente zustreben, erhält. Auf Grund der in den letzten Jahren sichergestellten Resultate des Momentenproblems kann nun in exakter Weise aus der Grenzwerten der Momente auf die Grenzfunktionen geschlossen werden. Man erhält solcherweise \(w(x) = \lim w_n(x) = \dfrac{e^{-a} a^x}{x!}\), wobei \(a = n (p^2 q^m + p^m q^2)\) die Erwartungszahl der Iterationen von der Länge \(m\) bedeutet. Der Vergleich mit den Beobachtungsreihen zeigt vollkommene Übereinstimmung, so daß die Marbesche Kritik widerlegt ist.