Problemi analoghi a quello di Buniakowski. (Q1463213)

Eine Ebene ist vollständig überdeckt mit kongruenten Parallelsechsecken (Fläche \(\omega\)) mit den Seiten \(l_1, l_2, l_3\) und den Außenwinkeln \(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\). Die Wahrscheinlichkeit, daß eine auf die Ebene geworfene Nadel, deren Länge \(2h\) kleiner sei als der kleinste Abstand zweier Parallelseiten, ganz in eines der Sechsecke zu liegen kommt, ist \(p = 1 + \dfrac{2h^2}{\pi \omega} (3 - \sum\limits_{i=1}^4 \varphi_i \text{ ctg } \varphi_i) + \dfrac{4h}{\omega} \sum\limits_{i=1}^3 l_i\). Ähnlich sind zu behandeln der Fall des Parallelogramms und des Quadrates. Etwas komplizierter wird der Fall, wenn die Länge der Nadel zwar größer als der kleinste Abstand, aber doch noch kleiner als die kleinste Diagonale ist. Schließlich wird noch der Fall des gleichschenkligen Trapezes behandelt, wo kongruente und flächengleiche symmetrische Figuren miteinander abwechseln.