On the relation of a continuous curve to its complementary domains in space of three dimensions. (Q1463355)

Damit in der Ebene \(S_2\) eine abgeschlossene beschränkte zusammenhängende Menge \(M\) eine ``stetige Kurve'' sei (darunter irgendeine Punktmenge verstanden, die im Zeitintervall \(0\leqq t\leqq 1\) stetig durchlaufen werden kann) ist notwendig und hinreichend, daß 1. für jeden zusammenhängenden Bestandteil \(R\) von \(S_2-M\) jeder Punkt seiner Begrenzung allseitig erreichbar sei, und 2. zu jedem \(\varepsilon>0\) nur endlich viele solcher Bestandteile \(R\) mit einem Durchmesser \(>\varepsilon\) existieren (Schoenflies). Durch Beispiele wird gezeigt, daß im dreidimensionalen Baum \(S_3\) keine dieser Bedingungen für eine stetige Kurve notwendig ist. Es wird der Satz aufgestellt, daß eine den \(S_3\) in genau 2 Teile \(S'\), \(S''\) zerlegende abgeschlossene beschränkte zusammenhängende Menge \(M\) eine ``stetige Kurve'' ist (es genügt hiezu nach Hahn und Mazurkiewicz zu zeigen, daß \(M\) zusammenhängend im kleinen ist) immer dann, wenn jeder Punkt von \(M\) zur Begrenzung von \(S'\) und \(S''\) gehört und wenn \(S'\) und \(S''\) \textit{``gleichmäßig} zusammenhängend im kleinen'' sind. (Beim Beweis wird ein an anderer Stelle zu beweisendes Lemma verwendet, das nicht ganz richtig reproduziert zu sein scheint.) Es wird noch darauf hingewiesen, daß auch gewisse für \textit{einfache} geschlossene Kurven in der Ebene notwendige und hinreichende Bedingungen sich als weder notwendig noch hinreichend herausstellen, sei es für einfache geschlossene Flächen, sei es für stetige Kurven im \(S_3\). (III.)