Sur les polyèdres réguliers de l'analysis situs. (Q1463362)

Unter einem im topologischen Sinn regulären Polyeder wird hier eine mit einer Zelleinteilung versehene zweiseitige geschlossene Fläche vom Geschlecht \(p\) verstanden, deren Flächenzellen alle die gleiche Seitenzahl (\(n\)) haben und in deren Punkten stets die gleiche Anzahl (\(m\)) von Strecken endigen. Bei der außerordentlichen Vielfältigkeit solcher regulärer Polyeder ist es dem Verf. nicht möglich gewesen, eine erschöpfende systematische Übersicht zu geben; doch gewähren die zahlreichen Beispiele schon einen wertvollen Einblick in die überraschende Verschiedenartigkeit der möglichen Fälle. In einem arithmetischen Teil werden zunächst aus der verallgemeinerten Eulerschen Polyederformel und den aus der Regularität folgenden Beziehungen zwischen den \(f\) Flächenzellen, \(a\) Strecken und \(s\) Punkten für \(p\leqq 3\) alle auf Grund dieser Beziehungen möglichen Wertsysteme (\(p\), \(f\), \(a\), \(s\), \(m\), \(n\)) abgeleitet, dazu noch einige Spezialfälle für \(p > 3\). Es ergeben sich hierbei für \(p\geqq 2\) nur je endlich viele Möglichkeiten (Typen), deren Zahl allerdings mit wachsendem \(p\) unbeschränkt wächst, während deren Zahl für \(p = 0\) und \(p = 1\) unendlich ist, wie das schon das Beispiel des Dieders und der in Vierecke eingeteilten Torusfläche zeigt. Im zweiten Teil befaßt sich Errera mit der Frage, ob den so gewonnenen Typen (\(p\), \(f\), \(a\), \(s\), \(m\), \(n\)) tatsächlich reguläre Polyeder entsprechen; jedoch beschränkt er sich darauf, bei \(p\leqq 2\) und den im ersten Teil der Arbeit erwähnten Spezialfällen an Beispielen nachzuweisen, daß es für jeden dort erhaltenen Typ mindestens ein, meistens sogar mehrere topologisch verschiedene Polyeder gibt. Darunter befindet sich z. B. auch die für das Farbenproblem interessante Zerlegung der Torusfläche in 7 Sechsecke, von denen ein jedes jedes andere berührt. Die Frage, ob es allgemein für jeden arithmetisch möglichen Fall auch ein zugehöriges Polyeder und ob es eine Methode gibt, die Anzahl der topologisch verschiedenen Polyeder jedes Typs festzustellen, wird offen gelassen.