Die windschief involutorischen Paarungen in einer linearen Strahlenkongruenz und die beiden Arten windschief involutorischer linearer Strahlenkongruenzen. (Q1463468)

Einfache Sätze über geschart kollineare Räume führen zu dem von einer Regelschar zweiter Ordnung getragenen Büschel projektiver Regelscharen zweiter Ordnung. Daraus ergibt sich ein weiterer Ausbau der Theorie der durch eine halbgescharte Kollineation erster Art aufeinander bezogenen Räume und die Begründung der Theorie der windschief involutorischen linearen Strahlenkongruenzen. Eine w. i. l. St. besteht aus der Gesamtheit der \(\infty^2\) einander doppelt entsprechenden Strahlen zweier durch eine halbgescharte Kollineation erster Art aufeinander bezogenen Räume. Sie ist hyperbolisch oder elliptisch und hat 4 Doppelstrahlen, die paarweise konjugiert imaginär sein können. Die hyperbolischen w. i. l. St. zerfallen in diejenigen erster, zweiter oder dritter Art, je nachdem ihre 4 Doppelstrahlen von je 2 Paaren reeller oder 2 Paaren konjugiert imaginärer windschiefer Strahlen oder endlich von 2 Paaren konjugiert imaginärer Strahlen erster Art gebildet werden. Jede elliptische w. i. l. St. hat 2 reelle und 2 konjugiert imaginäre Doppelstrahlen. In jeder elliptischen oder hyperbolischen Kongruenz erster und zweiter Art sind 2 Scharen von \(\infty^1\) reellen involutorischen Regelscharen zweiter Art enthalten. Die Regelscharen jeder Art liegen auf den Flächen je eines \(F_2\)-Büschels. Es ergeben sich weiter die gemeinsamen Elementenpaare kollokaler w. i. l. St. sowie die Lösung einiger Fragen aus der Theorie windschief involutorischer Räume. Die Untersuchung der einzigen Kollineation, die eine gegebene w. i. l. St. in sich selbst überführt, dabei deren Doppelstrahlen in Ruhe läßt und 2 gegebene Punkte oder Ebenen einander zuweist, führt zu einer anschaulichen Einteilung der Realitätsbedingungen des Decktetraeders dieser Kollineation und zu einer einfachen Klassifikation der Tetraeder. Die Kollineation mit einem einzigen Decktetraeder ist in gleicher Weise noch durch 2 andere w. i. l. St., die durch sie in sich selbst übergeführt werden, bestimmt, und jede der 3 Kongruenzen bestimmt auf die nämliche Weise die beiden andern. In einer singulären w. i. l. St. können je 2 Strahlenpaare durch eine Regelschar zweiter Ordnung verbunden werden. Der geschart involutorische Raum enthält \(\infty^4\) windschief involutorische und \(\infty^4\) singuläre w. i. l. St., der polare Raum ebenfalls \(\infty^4\) windschief involutorische, aber nur \(\infty^2\) singuläre.