On anharmonic pole and polar. (Q1463474)

Trifft eine Transversale \(v\) die Seiten eines Dreiecks \((ABC)\) in den Punkten \(P\), \(Q\), \(R\), und konstruiert man die jeweils vierten harmonischen Punkte \(P_1\), \(Q_1\), \(R_1\), so treffen sich, wie bekannt, die drei Geraden \(AP_1\), \(BQ_1\), \(CR_1\) in einem Punkte \(P'\), und umgekehrt. Die Gerade \(v\) ist dann die Polare des Punktes \(P\) in bezug auf das Dreieck. Der Verf. ersetzt allgemeiner die drei harmonischen Doppelverhältnisse (kurz Dv.) durch drei beliebige Dv. \(\varrho_i\) (\(i=1, 2, 3\)). Der Satz gilt auch dann noch, wenn nur die drei Werte \(\varrho_i\) der Bedingung (1) \(\varPi\varrho\equiv\varrho_1\varrho_2\varrho_3=-1\) genügen. Die Gerade \(v\) wird dann zur ``anharmonischen'' Polare des Punktes \(P'\), und vice versa ist \(P'\) der anharmonische Pol von \(v\). Zwischen den Koordinaten von \(P'\) und \(v\) bestehen Relationen von der Form: (2) \(\varrho x_i'=\dfrac{c_i}{v_i}\). Umgekehrt wenn eine beliebige Transformation (2) vorliegt (wobei man sich auf reelle \(c_i\), \(x_i\), \(y_i\) beschränken mag), so tritt die obige Beziehung zwischen dem Punkt \(P'(x_i')\) und der Geraden \(v(v_i)\) ein, und die zugehörigen Doppelverhältnisse \(\varrho_i\) sind einfach die negativ zu nehmenden Verhältnisse \(c_k/{}_u\). Der Verf. drückt sich hier (wie auch entsprechend im Raume, s. u.) schief aus, wenn er verlangt, daß, wenn vermöge (2) \(P'\) anharmonischer Pol von \(v\) sein solle, die Bedingung (1) hinzutreten müsse; diese Bedingung ist dann eben von selbst erfüllt. Die auch sonst bekannte Transformation (2) setzt sich zusammen aus der involutorischen Punktverwandtschaft \(\sigma x_ix_i'=c_i\), und der Dualität \(x_i=v_i\). Der obige Satz gilt dann auch für die Folgen \((\varrho_1,-\varrho_2,-\varrho_3)\), \((-\varrho_1,\varrho_2,-\varrho_3)\), \((-\varrho_1,-\varrho_2,-\varrho_3)\). Ist im besonderen \(\varrho_1=\varrho_2\), also \(\varrho_3=-1\), so bleiben \(P_1\), \(Q_1\), \(R\) inzident, aber \(P\), \(Q_1\), \(R_1\) und \(P_1\), \(Q\), \(R_1\) nicht mehr (außer für \(\varrho_1=-1\)). Und ähnliches mehr. Diese Entwicklungen lassen sich im wesentlichen auf den Raum (sowie allgemein auf den \(R_n\)) übertragen. Eine Ebene \(v\) treffe die sechs Kanten \((A_lA_m)\) eines Tetraeders \((A_iA_kA_lA_m)\) in den Punkten \(P_{lm}\). Jenseits auf derselben Kante werde ein Punkt \(P_{lm}'\) konstruiert, so daß das Dv. \((P_l', P_{lm}', P_m, P_{lm})\) je einen gegebenen Wert \(\varrho_{lm}\) erhält. Auf Grund der bekannten Beziehungen zwischen den Koordinaten der Schnittpunkte einer Ebene mit den Kanten des Tetraeders -vgl. die Abhandlung des Referenten, F. d. M. 32, 574 (JFM 32.0574.*), 1901 -- ergeben sich die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die sechs Ebenen, die die Punkte \(P_{lm}'\) jeweils mit ihrer Gegenkante verbinden, inzident sind, dahin, daß \(\varrho_{ik}\varrho_{11l}\varrho_{li}=-1\) (\(i=i, k, l, m\)), wo irgend drei dieser Relationen immer die vierte nach sich ziehen. Seien diese Bedingungen erfüllt, so besteht zwischen den Koordinaten \(x_i'\) von \(P'\) und den \(v_i\) der Ebene \(v\) eine Verwandtschaft von der Form: (\(2'\)) \(c x_i'=c_i/v_i\), wo \(c_i/c_k=-\varrho_{ik}\). Umgekehrt können hier die Konstanten \(c_i\) beliebig gewählt werden; dann sind die Werte der \(\varrho\) eindeutig bestimmt. Die Transformation (\(2'\)) setzt sich zusammen aus der involutorischen kubischen Punktverwandtschaft \(\sigma x_i=c_i/x_i'\), und der Dualität \(x_i = v_i\). Einem Ebenenbündel \((v)\) entspricht vermöge (\(2'\)) eine \(F_3\) mit Knotenpunkten in den Ecken \(A\), und umgekehrt einer Ebene (\(x'\)) eine Steinersche Fläche; eine Gerade geht beiderseits wieder in eine Gerade über. Eine Reihe von Einzelsätzen ergibt sich, wenn die \(\varrho\) noch an gewisse partikuläre Bedingungen geknüpft werden.