Geometrical theorems on Einstein's cosmological equations. (Q1463694)

Der Verf. untersucht die Riemannschen Mannigfaltigkeiten, deren Linienelement aus den \(g_{ik}\) aufgebaut ist, die Lösungen der Einsteinschen kosmologischen Gleichungen \(G_{\mu\nu} - \frac14 g_{\mu\nu} G = 0\) sind. Er findet: 1. Eine derartige \(M_4\) kann nur dann in einen euklidischen \(R_5\) eingebettet werden, wenn alle ihre Punkte Nabelpunkte oder wenigstens ``Halbnabelpunkte'' sind. Unter letzteren versteht der Verf. Punkte, in denen die vier Hauptkrümmungen wohl numerisch gleich sind, aber zwei positiv und zwei negativ ausfallen. 2. Eine derartige \(M_4\) kann nur dann auf einen euklidischen \(R_4\) konform abgebildet werden, wenn ihre Riemannsche Krümmung konstant ist. 3. Wenn zwei derartige \(M_4\) nahezu sphärisch sind und eine konforme Abbildung aufeinander zulassen, so ist sie isometrisch, bis auf eine homothetische Transformation. 4. Wenn das Linienelement einer solchen \(M_4\) sich als Summe zweier Binärformen (in \(x_1\), \(x_2\), bzw. \(x_3\), \(x_4\)) darstellen läßt, hat es sicher die Gestalt: \(ds^2 = x_1^{-2}(dx_1^2 + dx_2^2) + x_3^{-2}(dx_3^2 + dx_4^2)\), und die \(M_4\) läßt sich in einen euklidischen \(R_6\) einbetten.