Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. I. Teil. Sätze ersten Grades. (Über die Axiomensysteme von der kleinsten Satzzahl und den Begriff des idealen Elementes.) (Q1463924)

Die Untersuchung, deren erster Teil diese Abhandlung ist, gehört dem Gebiet der mathematischen Logik an und bildet zugleich ein elementares Kapitel der Axiomatik. Die Fragestellung knüpft an die traditionelle Lehre von den hypothetischen Schlüssen an. In dem vorliegenden ersten Teil handelt es sich ausschließlich um Sätze von der Form \[ \begin{gathered} a \rightarrow b\\ (\text{``wenn}\;a,\;\text{so}\;b\text{''}), \end{gathered} \] auf welche der Kettenschluß \[ \begin{matrix} a \rightarrow b\\ b \rightarrow c\\ \noalign{\vskip-1.0ex} \hrulefill\\ \noalign{\vskip-0.4ex} a \rightarrow c \end{matrix} \] anwendbar ist. Dabei kommt es übrigens auf die logische Deutung nicht an; es genügt, daß man eine mit ``\(\to\)'' bezeichnete \textit{transitive Relation} zwischen zwei Elementen hat (und zwar sollen es zwei voneinander verschiedene Elemente sein). Wird für eine endliche Gesamtheit von Elementen \[ a,\, b,\, c,\,\ldots,\, k \] eine Reihe von Sätzen der Form \[ u\rightarrow v \] als gültig angenommen, so können aus diesem ``Satz-System'' durch Anwendung des Kettenschlusses weitere Sätze erhalten werden. Durch wiederholte Anwendung gelangt man zu einem ``abgeschlossenen'' Satzsystem, das sich durch den Kettenschluß nicht mehr erweitern läßt. Der umgekehrte Prozeß, d. h. das sukzessive Weglassen von Sätzen, die aus den übrigen erschließbar sind, führt zu einem System von unabhängigen Sätzen, welche als ``Axiome'' für das abgeschlossene Satzsystem angesehen werden können. Dieser Rückgang zu einem System von unabhängigen Axiomen ist nun im allgemeinen nicht eindeutig, d. h. zu einem abgeschlossenen Satzsystem gehören im allgemeinen verschiedene Axiomensysteme. Jedoch wird folgender Eindeutigkeits-Satz bewiesen: Zu einem abgeschlossenen Satzsystem können nur dann verschiedene Systeme von unabhängigen Axiomen gehören, wenn für mindestens ein Paar von Elementen \(a\), \(b\) die Sätze \[ a \rightarrow b\quad \text{und}\quad b \rightarrow a \] beide in dem Satzsystem vorkommen. Im Anschluß an dieses Haupttheorem wird sodann ein einfaches Verfahren angegeben, wie man für ein vorgelegtes abgeschlossenes Satzsystem ein Axiomensystem von möglichst kleiner Axiomen-Anzahl findet. Dabei handelt es sich um solche Axiomensysteme, die nur aus Sätzen des Satzsystems bestehen. Bei solchen Axiomensystemen braucht man aber nicht stehenzubleiben, vielmehr kann man in den meisten Fällen die Anzahl der Axiome noch weiter verringern, indem man ``ideale Elemente'' einführt. So läßt sich z. B. das System der 6 unabhängigen Axiome \[ \begin{aligned} &a \rightarrow d,\quad b \rightarrow d,\quad c \rightarrow d \\ &a \rightarrow e,\quad b \rightarrow e,\quad c \rightarrow e \end{aligned} \] mit Hilfe der Einführung eines idealen Elements \(x\) ersetzen durch das System der 5 Axiome \[ \begin{aligned} &a \rightarrow x,\quad b \rightarrow x,\quad c \rightarrow x \\ &x \rightarrow d,\quad x \rightarrow e. \end{aligned} \] Diese einfachste Art einer Anwendung der allgemeinen mathematischen Methode der idealen Elemente ist hier von Hertz zum ersten Male als solche bemerkt und hervorgehoben worden -- wie überhaupt die Betrachtungen dieser Abhandlung besonders dadurch lehrreich sind, daß sie zeigen, wie sich schon bei elementaren logischen Fragen naturgemäß und notwendig mathematische Begriffsbildungen und Methoden einstellen, sobald es sich um Zusammensetzung von Operationen handelt. Die Frage, wie weit man durch Einführung idealer Elemente ein Axiomensystem reduzieren kann, wird nur für spezielle Fälle diskutiert. Eine Einordnung der Hertzschen Überlegungen und Ergebnisse in die üblichen Bezeichnungsweisen des Logikkalküls wäre wohl möglich; jedoch dürfte dadurch weder an Einfachheit der Beweise noch an grundsätzlichem Verständnis etwas gewonnen werden.