Proprietà delle equazioni Abeliane di grado \(p^2\). (Q1463972)

Eine Abelsche Gleichung vom Grade \(p^2\) (\(p =\) Primzahl) mit nichtzyklischer Gruppe \(G\) -- den zyklischen Fall hat Verf. früher behandelt (Annali di mat. 1917) -- besitzt zwei erzeugende Substitutionen \(S, T\) von der Periode \(p\), durch die die Wurzeln \(x_k\) dieser Gleichung etwa wie folgt permutiert werden: \[ \begin{aligned} & S\equiv (x_1\ldots x_p)(x_{p+1}\ldots x_{2p})\ldots (x_{(p-1)p+1}\ldots x_{p^2}),\\ &T \equiv (x_1\,x_{p+1}\ldots x_{(p-1)p+1})(x_2\ldots x_{(p-1)p+2})\ldots (x_p\ldots x_{p^2}); \end{aligned} \] \(G\) besteht also aus den Substitutionen \[ W = S^\alpha T^\beta (\alpha, \beta = 0,1,\ldots, p - 1). \] Es sei \(X\) eine rationale Funktion der Wurzeln \(x_k\), die bei den Substitutionen \(S^\alpha\) unverändert bleibt; entsprechend sei \(Y\) eine ähnliche Funktion für die Substitutionen \(T^\beta\); \(X\) wie \(Y\) sind dann Wurzeln je einer zyklischen Gleichung vom Grade \(p\), deren irreduzibler Charakter sich nicht ändert, wenn der zugrunde gelegte absolute Rationalitätsbereich \((C)\) durch Adjunktion der \(p\)-ten Einheitswurzel \(\varepsilon = e^{\tfrac{2\pi i}{p}}\) zu \((C; \varepsilon)\) erweitert wird. Es seien \(A(X) = 0, B(Y) = 0\) diese Gleichungen, \(X_1, \ldots, Y_p\) die Wurzeln derselben, und man bilde \(u = X_1+ \varepsilon X_2+\cdots +\varepsilon ^{p-1}X_p, \) \(v=Y_1+\cdots +\varepsilon ^{p-1}Y_p;\) dann sind \(u, v\) selbst Wurzeln binomischer Gleichungen \[ u^p= a, \;\;v^p = b, \] deren rechte Seiten zu \((C; \varepsilon)\) gehören; die Adjunktion von \(u\) und \(v\) kann natürlich durch diejenige einer passenden einzigen Größe \(\varrho= gu + hv\), vom Grade \(p^2\) in \((C; \varepsilon)\) ersetzt werden, wo \(g\) und \(h\) selbst zu \((C; \varepsilon)\) gehören. Es wird daraus gefolgert, daß die hinreichende und notwendige Bedingung für den verlangten Charakter einer Gleichung in \(C\) so lautet: die Wurzeln \(x_k\) müssen rationale Funktionen, mit Koeffizienten aus \((C; \varepsilon)\), der Wurzeln \(\varrho_l\) einer Abelschen Gleichung vom Typus \[ \varrho^{p^2}+\alpha_1\varrho^{(p-1)p}+\cdots+\alpha_{p-1}\varrho^p+\alpha _p=0 \] sein, worin die \(\alpha_\mu\) ebenfalls Zahlen aus \((C; \varepsilon)\) sind. Es werden daraus einige wei tere Folgerungen über den Körper \((C; x_1,\ldots,x_{p^2})\), speziell für \(p = 3\), gezogen.