Über die Lage der Nullstellen von Polynomen, die aus Minimumforderungen gewisser Arten entspringen. (Q1463975)

Es sei \(P\) eine endliche bzw. abgeschlossene unendliche ebene Punktmenge mit einer kleinsten konvexen Hülle \(K\); ist \(A\) ein Punkt im Äußeren von \(K\), so lassen sich offensichtlich Punkte B derart angeben, daß dann für jeden Punkt \(p\) von \(P\) gilt: \(\overline{pB} < \overline{pA}\). Auf Grund dieser einfachen geometrischen Bemerkung läßt sich der folgende sehr allgemeine Satz beweisen: Es sei \[ g(x) = x^n + c_1x^{n-1}+\cdots +c_n,\tag{1} \] es sei durch irgend eine eindeutige Vorschrift \[ A_g = A(P; c_1, \ldots, c_n) \geqq 0\tag{2} \] in \(P\) als ``Abweichung'' des Polynoms \(g(x)\) von Null definiert, und es sei dann \(P_n(x)\) ein Polynom mit der kleinstmöglichen Abweichung dieser Art für den Grad \(n\); falls bei zwei beliebigen Polynomen \(h(x)\), \(k(x)\) von der Gestalt (1) stets \(A_g < A_h\) ausfällt, wenn überall in \(P|g(p)|<|h(p)|\) bei \(h(p) \neq 0\) bzw. \(|g(p)| =0\) für \(|h(p)| = 0\) ist, so liegen alle Nullstellen von \(P_n(x)\) in der konvexen Hülle \(K\) von \(P\). Der triviale Fall, in dem die Anzahl der Punkte von \(P\) kleiner als \(n\) ist, wird dabei außer acht gelassen. Die Tschebyscheffsche Abweichung \[ A_g = Max|g(p)| \] ist ein besonders wichtiger Fall dieser Art; ebenso die in der Literatur z.T. schon vorher behandelte Besselsche Abweichung: \[ \dfrac{1}{k}\{|g(p_1)|^2+ \cdots + |g(p_k)|^2\} \] für endlich viele \(p\) (K. Jordan) bzw. \(\dfrac{1}{l} \int |g(p)|^2\,dl\) für Punkte einer ebenen Kurve von der Länge \(l\) (Szegö) bzw. \(\dfrac{1}{f}\iint |g(p)|^2\,df\) für Punkte einer ebenen Fläche. Der Hauptsatz umfaßt so als einfachste Fälle u. a. die Tschebyscheffschen bzw. die Legendreschen Polynome.