Loi de réciprocité abélienne. (Q1464045)

Der Verf. skizziert die Zerlegung der Primzahlen in einem absolut Abelschen Körper und gibt das spezielle Reziprozitätsgesetz an, ohne von der Idealtheorie Gebrauch zu machen. Er benutzt einzig die Auflösung eines Polynoms in Primfaktoren, mod \(q\), wo \(q\) eine rationale Primzahl ist. Es sei ein absolut Abelscher Körper \(m\)-ten Grades: \[ f(x)=0 \] gegeben. Durch die Tschirnhausensche Transformation: \[ dt=c_{m-1}x^{m-1}+c_{m-2}x^{m-2}+\dots +c_0\,, \] wo alle \(c\) und \(d\) ganze rationale Zahlen seien, erhält man unendlich viele andere Polynome. Zerlegt man \(f(x)\pmod q\) in irreduzible Teiler \(\varphi(x)\), so heißt \(\varphi(x)\) ein regulärer Teiler vom Grade \(k\), falls alle durch die Tschirnhausensche Transformation erhaltenen Polynome einen entsprechenden irreduziblen Teiler (mod \(q\)) vom Grade \(k\) haben. Das spezielle Reziprozitätsgesetz in dieser Gestalt lautet dann so: Wenn das Abelsche Polynom \(f(x)\) vom Grade \(m\pmod q\) in ein Produkt von \(m\!/k\) regulären irreduziblen und verschiedenen Teilern \(k\)-ten Grades zerlegbar ist, so ist es es auch für jede Primzahl \(q'\), die der Primzahl \(q\) nach einem bestimmten Modul \(\varDelta\) kongruent ist. \(\varDelta\) hängt nur von \(f(x)\) ab.