On the multiplicative representation of algebraic numbers for the range of a prime divisor (Q1464068)

Die vom Verf. in einer früheren Arbeit ``Die multiplikative Darstellung der algebraischen Zahlen für den Bereich eines beliebigen Primteilers'' [J. Reine Angew. Math. 146, 189--215 (1916; JFM 46.0281.01)] angegebene Basis für die multiplikative Gruppe aller Zahlen eines Henselschen Körpers \(k(\mathfrak p)\), wo \(\mathfrak p\) ein zur Primzahl \(p\) gehöriger Primteiler \(e\)-ter Ordnung und \(f\)-ten Grades eines algebraischen Zahlkörpers \(k\) ist, besitzt für den Fall, daß \(k(\mathfrak p)\) die \(\root{p-1} \of {-p}\) (oder, was dasselbe, die \(p\)-te Einheitswurzel \(\zeta\)) enthält, ein sog. \textit{ausgezeichnetes} Basiselement, das in der Form \(1 + \xi_0\varPi\) angesetzt werden kann, wo \(\varPi = \root {p-1} \of {-p}\) (oder, was auf dasselbe hinausläuft, \(\varPi = (1 - \zeta)^{\tfrac e{p-1}}\)) ist und \(\xi_0\) eine zu \(\mathfrak p\) prime Zahl, die in der genannten Arbeit noch nicht in arithmetisch brauchbarer Weise charakterisiert war. Diese arithmetische Charakterisierung wird nunmehr dahingehend gegeben, daß die Bedingung \[ s_0 (\xi_0) \equiv \xi_0 + \xi_0^{p} + \cdots \xi_0^{p^{f-1}} \not \equiv 0\bmod \mathfrak p \] notwendig und hinreichend dafür ist, daß \(1 + \xi_0 \varPi\) als ausgezeichnetes Basiselement verwertbar ist. \(s_0(\xi_0)\) ist die Spur im größten unverzweigten Unterkörper von \(k({\mathfrak p})\), d. h. dem Körper der \((p^f-1)\)-ten Einheitswurzeln, über dem Körper der rationalen \(p\)-adischen Zahlen. Dies Resultat ist von fundamentaler Bedeutung für die Herleitung des \textit{expliziten} Reziprozitäts\-gesetzes der \(p\)-ten Potenzreste in \(k\) geworden (siehe Ref., ``Das allgemeine Reziprozitätsgesetz und seine Ergänzungssätze in beliebigen algebraischen Zahlkörpern für gewisse, nicht-primäre Zahlen. [J. Reine Angew. Math. 153, 192--207 (1924; JFM 50.0105.02)]).