Über die Normenreste und Nichtreste in den allgemeinsten relativ Abelschen Zahlkörpern. (Q1464069)

Es wird die Theorie des auf einen Primzahlexponenten \(l\) bezüglichen Hilbertschen Normenrestsymbols in einem die \(l\)-ten Einheitswurzeln enthaltenden algebraischen Zahlkörper \(K\) nach einem nicht in \(l\) aufgehenden Primteiler \({\mathfrak p}\) von \(K\) in die vom Verf. geschaffene \({\mathfrak p}\)-adische Theorie der algebraischen Zahlen eingereiht. Gegenüber der Hilbertschen Definition, die sich auf Kongruenzen nach jeder noch so hohen Potenz von \({\mathfrak p}\) stützt, tritt dabei die Vereinfachung auf, daß das Symbol \(\left( \frac {B,A}{\mathfrak p} \right)\), wo \(A\), \(B\) beliebige Zahlen aus der Henselschen Erweiterung \(K({\mathfrak p})\) (insbesondere also solche aus \(K\)) sind, dann und nur dann gleich \(l\) ist, wenn \(B\) der wirklichen Relativnorm einer Zahl aus \(K(A, {\mathfrak p})\) für den Bereich von \({\mathfrak p}\) gleich ist. Man muß also folgerichtig von einem Normzahlsymbol reden. Die explizite Definition dieses Symbols wird dann, bis auf die Auswahl einer nicht näher bestimmten primitiven \(l\)-ten Einheitswurzel \(\zeta\) als Basiselement, durch einen Ausdruck von der Form \[ \left(\frac{B,A}{\mathfrak p}\right) = \zeta^{L(a,\, b;\, c,\, d)} \] gegeben, wo \(L\) eine genau angegebene Bilinearform in den Exponenten \(a, b\) von \(A\) und \(c, d\) von \(B\) der Darstellung durch eine multiplikative Basis von \(K({\mathfrak p})\) ist. Aus dieser expliziten Definition lassen sich der Vertauschungssatz und die beiden Zerlegungssätze ohne weiteres ablesen.