Note on Ramanujan's trigonometrical function \(c_q(n)\) and certain series of arithmetrical functions. (Q1464076)

Diese Arbeit bringt einen neuen Beweis der von \textit{S. Ramanujan} [Trans. Camb. Philos. Soc. 22, 259--276 (1918)] gefundenen Formel \[ c_q (n) \equiv \sum_p \cos \frac {2 n p \pi}q = \sum_\delta \delta \mu \left( \frac q\delta \right) \equiv C_q(n). \] Dabei ist in der ersten Summe über alle zu \(q\) primen Zahlen \(p < q\) und in der zweiten über alle Teiler \(\delta\) von \(n\) zu summieren. \(\mu (x)\) ist in der üblichen Bedeutung gebraucht. Den Beweis führt der Verf. in der Weise, daß er zunächst die Beziehungen \[ \begin{matrix} c_q(n) \cdot c_{q^\prime} (n) & = c_{qq^\prime} (n) \\ C_q(n) \cdot C_{q^\prime} (n) & = C_{qq^\prime} (n) \end{matrix} \qquad (q, q^\prime \text{ prim}) \] einzeln beweist und dann in dem speziellen Falle, daß \(q\) eine Primzahl oder eine Primzahlpotenz ist, die Gleichheit \[ c_q(n)=C_q(n) \] durch Ausrechnen bestätigt. Anschließend werden auch die interessanten, ebenfalls von Ramanujan aufgestellten Formeln \[ \sigma_s (n) \;\;\;= \dfrac {n^s}{\zeta (s+1)} \cdot \sum\limits_1^\infty q \dfrac {c_q (n)} {q^{s+1}}, \qquad \qquad \;\;\begin{matrix} \sigma_s: \text{ Summe der } s-\text{ten} \\ \text{ Potenzen der Teiler von } n \end{matrix} \tag{*} \] \[ \varPhi_{s-1} (n) = \dfrac{n^{s-1}}{\zeta (s)} \sum\limits_1^\infty q \dfrac{\mu (q) c_q (n)}{\varPhi_s(q)}, \quad \begin{matrix} \;\;\;\;\;\varPhi_s (q) = n^s (1-p^{-s})(1-p_1^{-s}) \dots\\ p_1 p_1 \dots \text{ Primteiler von } n \end{matrix} \] neu bewiesen. Die Formel (*) versagt im Falle \(s= 1\). Durch Betrachtung der Summe \[ f(s) = \sum_1^\infty q\frac{\mu(q) c_q(n)}{q^{s-1}\varPhi_1(q)} \] zeigt der Verf., daß \[ f(1) = \frac {p-1}p \log p \] wird, wenn \(n\) gleich einer Potenz einer Primzahl ist, dagegen für alle anderen \(n\) verschwindet. Schließlich wird noch das Bestehen der Gleichung \[ \sum_1^\infty q\frac{c_q(n)}{\varPhi(q)} \] bewiesen.