Über das Teilerproblem von Piltz. (Q1464078)

Für ganzes \(k > 1\) sei \[ \left(\sum_1^\infty \frac{1}{n^2}\right)^k = \sum_1^\infty \frac{d_k(n)}{n^s} \] gesetzt, so daß \(d_k(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Produkt von \(k\) Faktoren bedeutet. Dann gilt \[ D_k(x) = \sum_{n\leqq x} d_k(n) = xp_{k-1}(\log x) + \varDelta_k(x), \] wo \(p_{k-1}\) ein Polynom \((k - 1)\)-ten Grades bedeutet und das ``Restglied'' \(\varDelta_k(x)\) von niedrigerer Ordnung als das ``Hauptglied'' \(xp_{k-1} (\log x)\) ist. Für \(\varDelta_k(x)\) werden gewisse Reihenentwicklungen abgeleitet; es ist nämlich jene Funktion, bis auf ein beschränktes Fehlerglied, gleich einer endlichen Summe von Gliedern der Form \[ x^a \sum \frac{d_k(n)}{n^\beta} e^{2k\pi i\root\uproot 3 k\of{nx}}. \] Die auftretenden Reihen sind alle mit Mittelbildungen einer gewissen Ordnung summierbar. Mit Hilfe dieser Betrachtungen wird der Mittelwertsatz: \[ \frac 1x \int_2^x |\varDelta_k(t)| \, dt = O\left(x^{\tfrac{k-2}{k}+\varepsilon}\right) \] für jedes \(\varepsilon > 0\) und \(k > 2\) bewiesen.