Sur un problème de M. Phragmén. (Q1464080)

Unter Annahme der Riemann'schen Vermutung über die Nullstellen der Zetafunktion werden die Beziehungen \[ \begin{gathered} \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\log x} \int_2^x \left(\frac{f(t)}{Li(t)} 1\right)^2\, dt = \sum_\varrho \left|\frac{n_\varrho}{\varrho}\right|^2, \\ \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\log x} \int_2^x \left(\frac{\psi(t)}{t} 1\right)^2\, dt = \sum_\varrho \left|\frac{n_\varrho}{\varrho}\right|^2 \end{gathered} \] abgeleitet. Es bedeuten hier \(f(t)\) und \(\psi(t)\) die bekannten, von Riemann und Tschebyscheff untersuchten Primzahlfunktionen, \(\varrho\) durchläuft die komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, und \(n_\varrho\) bezeichnet die Multiplizität von \(\varrho\). Hieraus folgt insbesondere die Konvergenz des Integrals \[ \int_2^\infty \frac{|f(t) - Li(t)|}{t^{\frac 32} \log t} \, dt, \] die Phragmén im Jahre 1901 vermutet hatte.