Sur quelques propriétés des nombres transcendants de Liouville. (Q1464089)

Ausführung und Erweiterung einer früheren C. R.-Note (170, 983; F. d. M. 47, 167 (JFM 47.0167.*), 1919-20). Es sei \(J_n = P_n Q_n^{-1}\) eine Folge von irreduziblen rationalen Brüchen, die gegen eine Liouvillesche (L-)Zahl \(J\) konvergiert, so daß man hat \[ |J-J_n| = Q_n^{-\lambda_n}, \quad \lim_{n\to\infty} \lambda_n = \infty; \] es kann vorkommen, daß für jeden sonstigen (irreduziblen rationalen) Bruch \(J^\prime = P^\prime Q^{\prime -1}\) notwendig \[ |J-J^\prime| > Q^{\prime - \mu} \] mit festem \(\mu\), ausfällt; die Folge der \(J_n\) heißt dann vollständig. Es läßt sich eine hinreichende Bedingung für solche Folgen angeben; man setze \[ Q_n^{\lambda_n} = Q_{n+1}^{\mu_n}, \] \(\mu_n\) ist dann nach oben beschränkt, eine eventuelle Beschränkung auch nach unten \((\mu_n \geqq \varrho > 0)\) macht die gegebene Folge zu einer vollständigen. Folgen dieser Art lassen sich in gewissen Fällen angeben; die \(p\)-te Wurzel der entsprechenden \(L\)-Zahl ist dann und nur dann eine solche, wenn in jener Folge eine (unendliche) Teilfolge \(p\)-ter Potenzen von rationalen Brüchen enthalten ist; doch kann in vielen Fällen \(\root\uproot 3 p\of{L}\) von vornherein keine \(L\)-Zahl sein. Weit allgemeiner lassen sich \(L\)-Zahlen \(J\) angeben, für die \[ J = a_0 + a_1 x + \cdots + a_p x^p \] bei beliebigen ganzen rationalen \(a_0, \dots, a_p, p\) niemals zu einer \(L\)-Zahl \(x\) führt, womit also gewisse neue Klassen von transzendenten Zahlen gekennzeichnet sind. Wenn \(\root\uproot 3 p\of{L}\) bei reellem \(L\) selbst eine \(L\)-Zahl ist, so kann es sich nur um eine der folgenden Möglichkeiten handeln: \[ \root\uproot 3 p\of{L} = \pm J; \;\pm iJ; \;(1 + i) i^q J, \qquad (q = 0, \dots, 3), \] worin \(J\) eine reelle \(L\)-Zahl ist; für ungerade \(p\) kommt dabei nur \(\pm J\) in Betracht; für \(p = 4h+2\) nur \(\pm J\), \(\pm i J\); für \(p = 8h + 4\) nur \(\pm J\), \(\pm i J\) bzw. nur \((1 + i) i^q J\), für \(p = 8h\) können entweder die gleichen Möglichkeiten auftreten, oder auch alle acht Fälle: nämlich, wenn \(J^\prime = 2^{-\frac 12} J\) ebenfalls eine \(L\)-Zahl ist.