A direct proof of the binomial theorem for a rational index. (Q1464113)

Es handelt sich darum, das Verschwinden des Restgliedes \(R_n(x)\), \(n\to\infty\), in der endlichen Form der Binomialreihe bei rationalen Exponenten \(p\) rein algebraisch zu begründen, und zwar durch entsprechende Verallgemeinerung der wohlbekannten Ungleichungen für \(0<\pm x<1\): \[ px(1-x)^{-p-1}\gtrless(1-x)^{-p}-1\gtrless px\qquad(p\gtrless 0). \] Diese Verallgemeinerung besteht hier in dem Nachweis entsprechender Eigenschaften des Ausdrucks \[ (1-u)^{-1}\left\{\frac{1-u^p}p-\binom n1\frac{1-u^{p+1}}{p+1}+ -\cdots+(-1)^n \frac{1-u^{p+n}}{p+n}\right\} \] für \(u>0\), \(p>0\), \(p\) rational.