Relatively uniform convergence and the classification of functions. (Q1464130)

Nach E. H. Moore heißt eine Funktionenfolge \(\{f_n\}\) auf einer Menge \(M\) ``relativ gleichmäßig konvergent'', wenn eine Grenzfunktion \(f\) und eine ``Maßfunktion'' (``scale function'') \(\sigma\) existieren, so daß zu jedem positiven \(\varepsilon\) eine ganze Zahl \(n_\varepsilon\) gehört, für welche, wenn \(n\geqq n_\varepsilon\), überall auf \(M\) \[ |f_n-f|\leqq\varepsilon\cdot|\sigma| \] ist. Verf. hat bereits früher (American M. S. Trans. 15, 197; 20, 179; F. d. M. 45, 384, 1914-15; 47, 238, 1919-20) gezeigt, daß konvergente Funktionenfolgen existieren, die in bezug auf keine ``Maßfunktion'' relativ gleichmäßig konvergieren; und er hatte die notwendigen und hinreichenden Bedingungen angegeben dafür, daß eine Funktion Grenzfunktion einer relativ gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen sei. Hier wird nun, daran anknüpfend, eine der Baireschen nachgebildete Klassifikation der Funktionen gegeben, wobei an Stelle der bei Baire benutzten (gewöhnlichen) Konvergenz die ``relativ gleichmäßige Konvergenz'' tritt; die so erhaltene \(\alpha\)-te Klasse wird mit \(R_\alpha\) bezeichnet (wenn \(\alpha\) irgendeine Zahl der ersten oder zweiten Zahlklasse ist). Nach Ableitung einiger Hilfssätze über die Baireschen Funktionen und die zugehörigen Borelschen Mengen werden die Klassen \(R_\alpha\) genauer untersucht sowie ihre sehr engen Beziehungen zu den entsprechenden Baireschen Klassen; doch konnten nicht alle bei diesem letzteren Vergleich sich aufdrängenden Fragen geklärt werden.