Notes on some points in the integral calculus. LV. (Q1464133)

Neuer, vereinfachter Beweis des folgenden Theorems von W. H. Young, das bei der Berechnung von bestimmten Integralen bedeutungsvoll sein kann. Es sei \(f(x)\) summierbar und periodisch mit der Periode \(2\pi\), \(g(x)\) sei von beschränkter Schwankung im Intervall \((0,\infty)\), ferner sei das Integral \[ \int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty|g(x)|\,dx \] konvergent. Dann ist \[ \begin{multlined} \int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty f(x)g(x)\,dx\\ =\tfrac12a_0\int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty g(x)\, dx +\sum_{n=1}^\infty\left\{a_n\int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty g(x) \cos nx\,dx +b_n\int\limits_0{\vphantom{\int}}^\infty g(x) \sin nx\,dx\right\}, \end{multlined} \] wo \(a_n\), \(b_n\) die Fourierschen Konstanten von \(f(x)\) sind. Als Anwendung wird u. a. eine sehr einfache Herleitung der Funktionalgleichung der Zetafunktion angegeben (vgl. d. Bd. S. 343).