Un problema integrale nella teoria delle funzioni implizite. (Q1464136)

Es handelt sich um ein Problem des Verhaltens impliziter Funktionen im Großen. Gegeben ist ein zusammenhängender \(xy\)-Bereich \(D\) mit der Begrenzung \(E; f(x, y)\) sei in \(D\) und auf \(E\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) und \(\dfrac{\partial f}{\partial y}\) seien in \(D\) stetig; auf \(E\) sei \(f >0\); nirgends in \(D\) sei zugleich \(f=\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f}{\partial y}=0\); es existiere ein Punkt \(P_0\) in \(D\) mit \(f = 0\). Wie ist nun die Gesamtheit \(M\) aller Punkte \(P\) mit \(f= 0\) beschaffen? Die Antwort lautet folgendermaßen: \(M\) besteht aus endlich vielen Jordankurven mit stetigen Tangentenrichtungen und ohne gemeinsame Punkte; in den so entstehenden endlich vielen Einzelgebieten ist das Vorzeichen von \(f\) jeweilig konstant; in zwei solchen aneinander angrenzenden Einzelgebieten hat \(f\) entgegengesetzte Vorzeichen.