Aspetto integrale delle curve inviluppi. (Q1464137)

Die für gewöhnlich nur ``im Kleinen'' ausgebaute Theorie der impliziten Funktionen kann nach Hinzunahme gewisser Bedingungen auch ``im Großen'' ergänzt werden; der Verf. führt hier dies unter Benutzung Peanoscher topologischer Begriffsbildungen für das Enveloppenproblem durch. Es sei für das endliche Gebiet \(R\): \[ a_1\leqq a\leqq a_2,\quad x_1\leqq x\leqq x_2,\quad y_1\leqq y\leqq y_2 \] \(\alpha\)) die nach jeder der Variablen einmal stetig differentiierbare Funktion \(F(x, y, a)\) gegeben, \(\alpha'\)) es habe auch \(F_a=\frac{\partial F}{\partial a}\) die gleichen Differentiierbarkeitseigenschaften; es sei \(S\) die Gesamtheit der Punkte von \(R\), für die \[ F(x, y, a) = 0,\quad F_a(x, y, a) = 0 \] gilt, und es möge für jeden Punkt von \(S\) noch \[ \beta)\quad \frac{\partial(F,F_a)}{\partial(x,y)}\neq0;\qquad \gamma)\quad F_{aa}\neq0 \] gelten. Dann existiert um jeden \(S\)-Punkt die Enveloppe des Systems nach beiden Seiten hin, und einem Punkte \((xy)\) derselben entsprechen nur endlich viele \(a\). Gilt noch \(\delta\)), daß am Rande \(\overline{R}\) von \[ \underline{R}:\;x_1\leqq x\leqq x_2,\quad y_1\leqq y\leqq y_2 \] nur endlichviele \(S\)-Punkte existieren und dort jedem \(a\) nur ein einziges \(S\)-Element entspricht, so kann \(S\) nur eine endliche Anzahl von getrennten -- höchstens aneinander anstoßenden -- Ästen besitzen; jeder Ast stellt dabei eine Jordankurve mit stetig wechselnder Tangentenrichtung dar. Ist zu alledem noch \(F\) in bezug auf \(a\) periodisch, und existiert mindestens ein \(S\)-Punkt im Innern von \(R\), dann besitzt \(S\) sicher keine singulären Punkte, die Anzahl der Äste von \(S\) aber ist \(> 0\).