Proofs of some formulae enunciated by Ramanujan. (Q1464156)

Ramanujan hat ohne Beweis u. a. gelegentlich [Messenger 45, 81--84 (1915; JFM 45.1250.01)] die folgende schöne und wegen der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion im Nenner wichtige Identität aufgestellt: \[ \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}= \sum_{n=1}^\infty\sigma_a(n)\sigma_b(n)n^{-s}; \tag{I} \] \(\sigma_a(n)\) bedeutet hier in üblicher Weise die Summe der \(a\)-ten Potenzen aller Teiler von \(n\); man hat \[ \sigma=\mathfrak R(s)>\operatorname{Max}\{1,1+\mathfrak R(a),1+\mathfrak R(b),1+\mathfrak R(a+b)\} \] vorauszusetzen. Durch Grenzübergang erhält man natürlich insbesondere \[ \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty d^2(n)n^{-s},\quad\sigma>1; \tag{I\('\)} \] \(d^2(n)\) bedeutet hier nun das Quadrat der Teileranzahl von \(n\). Der hier nachgetragene einfache Beweis benutzt direkt die klassische Produktzerlegung der \(\zeta\)-Funktion und führt sofort zum Ziele. Komplizierter gestaltet sich die Untersuchung der mit (I\('\)) zusammenhängenden summatorischen Funktion der rechten Seite; Ramanujan gab ohne Beweis an: \[ \sum_{n\le x}d^2(n)=Ax\log^3x+\cdots+DX+O(x^{\frac35+\varepsilon}), \tag{III} \] wobei er vermutlich direkt die Dirichletschen Reihen für \(\zeta^4(s)\) und \(\zeta^{-1}(2s)\) benutzt hat, welch letztere bekanntlich sehr schwer zu beherrschen ist. Die (sechste) Riemannsche \(\zeta\)-Hypothese würde sehr viel mehr ergeben; indessen gelingt es hier dem Verf., schon durch Anwendung sichergestellter Mittelwertresultate von Hardy und Littlewood, auf der rechten Seite von (III) den Exponenten des Restes auf \(\frac12+\varepsilon\) herabzudrücken. Allgemeiner wird noch \(\sum_{n\le x}d^r(u)\) untersucht und das entsprechende Ramanujansche Resultat abgeleitet, ebenso für \(\sum_{n\le x}\log d(n)\); dgl. alle entsprechenden Resultate für \(\nu(n)\) statt \(d(n)\), wo \(\nu(n)\) die Anzahl der Zerlegungen von \(n\) in eine Summe zweier Quadrate bedeutet. (II 6.)