A new type of integral expansion. (Q1464158)

s handelt sich um die Entwicklungen \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{n!F(1)}\int\limits_{-1}{\vphantom{\int}}^{+1} \frac{d^{n+1}}{du^{n+1}}[(u-x)^nF(u)]f(u)\,du \] und, falls \(f (x)\) eine gerade Funktion ist, \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac1{n!F(1)}\int\limits_{0}{\vphantom{\int}}^{1} \frac{d^{n+1}}{du^{n+1}}\{[(u-x)^n+(u+x)^n]F(u)\}f(u)\,du, \] die beide zu dem häufigen Typ \[ f(x)=\lim_{n\to\infty}\int\limits_{a}{\vphantom{\int}}^{b} K_n(x,u)f(u)\,du \] gehören, wie er bei Fourierreihen, Fourierintegralen u. a. auftritt. Hierbei ist \[ F(1)\neq0,\qquad F(u)=\int\limits_{-1}{\vphantom{\int}}^{u}G(t)\,dt \] und bezüglich \(G(t)\) vorausgesetzt, daß es Ableitungen jeder Ordnung hat und samt diesen Ableitungen in \(\pm1\) verschwindet. Die Entwicklung hat im Gegensatz zu denjenigen vom Fouriertyp die Eigenschaft, daß \(f (x)\) durch seine Werte in der Nähe von \(+1\) vollständig für das Intervall 0\dots1 bestimmt ist, falls es dort nur beschränkt und absolut integrierbar vorausgesetzt wird.