Le théorème de Laguerre-Borel dans la théorie des fonctions entières. (Q1464160)

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion vom endlichen Geschlecht \(p\), mit reellen Koeffizienten und einer endlichen Anzahl \(2q\) von nichtreellen Nullstellen; nach Laguerre hat dann \(f'(z)\) außer den durch den Satz von Rolle gegebenen Nullstellen höchstens noch \(2q+p\) weitere, und das Geschlecht von \(f'(z)\) ist ebenfalls \(p\). Der erste, von Borel gegebene Beweis geht ebenso wie einige weitere Beweise von der Approximation der gegebenen Funktion durch passende andere aus. Hier wird nun ein direkter funktionentheoretischer Beweis geliefert, der sich in der Hauptsache auf die Jensensche Formel stützt und nebenbei auch eine Reihe von neuen Resultaten liefert, darunter den folgenden Satz: Das Geschlecht der Ableitung einer ganzen Funktion endlicher Ordnung übertrifft niemals dasjenige dieser Funktion selbst.