Zum Verhalten analytischer Funktionen in Bereichen, deren Rand eine wesentliche Singularität enthält. (Q1464172)

Der Aufsatz beschäftigt sich mit einigen von E. Lindelöf, W. Groß und dem Verf. früher abgeleiteten Sätzen über Werte-, Häufungs- und Konvergenzbereiche analytischer Funktionen in Bereichen der angegebenen Art und auf deren Rande. Einige Beziehungen zwischen diesen Bereichen werden abgeleitet und an Beispielen erläutert. Ein Satz von Groß (Zum Verhalten analytischer Funktionen in der Umgebung singulärer Stellen, Math. Zeitschr. 2, 1918) wird bewiesen in folgender allgemeineren Form: Es sei \(\varDelta\) ein in der Umgebung der wesentlichen Singularität einfach zusammenhängender Bereich, \(\varSigma_l\) und \(\varSigma_r\) der linke bzw. rechte Zweig der Randkurve in derselben Umgebung. Seien \(H_{\varDelta}\), \(H_{\varSigma}(l)\) und \(H_{\varSigma}(r)\) die \(\varDelta\), \(\varSigma_l\) und \(\varSigma_r\) entsprechenden Häufungsbereiche der Funktion \(f(z)\). Wird dann eine einfache, geschlossene Kurve \(g\), die durch keinen gemeinsamen Punkt von \(H_\varSigma(r)\) und \(H_\varSigma(l)\) geht, in einem bestimmten Sinn durchlaufen und enthält sie einen Bogen innerhalb \(H_\varDelta\), dessen Anfangspunkt \(H_\varSigma(l)\), dessen Endpunkt \(H_\varSigma(r)\) angehört, so enthält sie auch einen Bogen innerhalb \(H_\varDelta\), dessen Anfangspunkt \(H_\varSigma(r)\) und dessen Endpunkt \(H_\varSigma(l)\) angehört. Aus diesem Satz werden noch einige Folgerungen abgeleitet.