Über die konforme Abbildung endlich- und unendlich-vielfach zusammenhängender symmetrischer Bereiche. (Q1464190)

In einer früheren Abhandlung (Math. Zeitschr. 7, 235; F. d. M. 47, 925 (JFM 47.0925.*), 1919-20) hat Verf. die Aufgabe der konformen Abbildung eines symmetrischen mehrfach zusammenhängenden Schlitzbereiches auf einen Kreisbereich mittels eines Iterationsverfahrens behandelt. Der dort gegebene Beweis läßt sich nicht ohne weiteres auf Gebiete unendlich hohen Zusammenhangs übertragen; das fragliche Iterationsverfahren selbst bleibt aber auch für diesen Fall gültig, wofür jetzt die nötigen Ergänzungen gegeben werden. Gleichzeitig wird auch das umgekehrte Problem behandelt, einen gegebenen symmetrischen Kreisbereich beliebigen Zusammenhangs auf einen Schlitzbereich abzubilden, was sogar durch explizite Reihenbildung erledigt wird. Die Ränderzuordnung kann in allen Fällen genau verfolgt werden. Die Abbildung des allgemeinsten beliebig begrenzten symmetrischen Bereiches auf einen Schlitzbereich läßt sich auf der gewonnenen Grundlage ebenfalls durchführen. Die Abbildungsfunktion wird jeweilig so normiert, daß um den zum Innern des Bereiches gehörigen Punkt \(\infty\) die Entwicklung gilt: \[ z=\varphi(\zeta)=\zeta+((0)). \] Die Unität der Lösung folgt daraus, daß sonst die Differenzfunktion einen Imaginärteil haben würde, der längs der ganzen Begrenzung den Wert Null hat, während dort die Regularität nicht aufgehoben ist. Auf den Begrenzungskreisen nimmt die gesuchte Funktion \(\varphi(\zeta)\) reelle Werte an, kann also über dieselben nach dem Riemann-Schwarzschen Spiegelungsprinzip fortgesetzt werden; in Verbindung mit einer Spiegelung an der Achse des Reellen erhält man so jeweilig eine reelle lineare elliptische Substitution mit der Periode 2, deren reelle Fixpunkte auf dem betrachteten Kreise liegen. Wird die Anzahl der Begrenzungskreise zuerst als endlich \(= m\) angenommen, so kann man den gegebenen Bereich \(K\) als Fundamentalbereich derjenigen linearen Substitutionsgruppe \(\varGamma\) auffassen, die aus den zugehörigen \(m\) erzeugenden Substitutionen entsteht. Die Substitutionen von \(\varGamma\) seien, abgesehen von 1, mit \(\zeta_n=L_n(\zeta)\) bezeichnet, ferner sei \(L_n(\infty) =\omega_n\) genannt. Alsdann läßt sich direkt zeigen, daß \[ \varphi(\zeta)=\zeta+\sum_n(\zeta_n-\omega_n) \] genau die gewünschte Abbildung leistet; der Konvergenzbeweis wird durch geometrische Betrachtungen geführt, wie sie Verf. auch sonst in seinen Arbeiten vielfach verwendet hat. Die Übertragung auf \(m\to\infty\) erweist sich dabei als möglich. Für die umgekehrte Abbildung eines Schlitzbereiches \(S\) der \(z\)-Ebene auf einen zunächst unbekannten Kreisbereich \(K\) zieht man Fundamentaltransformationen heran, die in einfachster Lage durch \[ Z+Z^{-1}=z,\quad z=\tfrac12(Z+\sqrt{Z^2-4}) \] charakterisiert sind und einen Schlitz der \(z\)-Ebene in einen \(Z\)-Kreis überführen; diese Transformation ist immer wieder anzuwenden, wobei neben den ursprünglichen Schlitzen auch alle neu hinzukommenden in leicht angebbaren Reihenfolgen zur Auflösung heranzuziehen sind. Auch dieses Verfahren erweist sich auf der Grundlage von Verzerrungssätzen als konvergent. Bei beliebigen symmetrischen \(z\)-Bereichen \(B\) endlich werden jeweilig zwei spiegelbildlich liegende Punkte mit größtem Abstande von der Achse des Reellen herangezogen und durch Fundamentaltransformationen von der Art \[ Z-Z^{-1}=z,\quad z=\tfrac12(Z+\sqrt{Z^2+4}) \] behandelt, die eine stärkere Schmiegung an jene Achse nach sich ziehen. Die Resultate der Abbildung gipfeln im Konvergenzbeweis für die Iteration dieses sinnreichen (``Schmiegungs''-) Verfahrens.