Sur les fonctions hypersphériques et sur l'expression de la fonction hypergéométrique par une dérivée généralisée. (Q1464210)

Im ersten Abschnitt wird gezeigt, wie die vom Verf. mehrfach behandelten hypersphärischen Funktionen von \(q\) Variablen (vgl. u. a. C. R. 162, 747; 164, 856) sich als Lösungen gewisser Integralgleichungen darstellen lassen. Im zweiten Abschnitt wird unter Heranziehung der Riemann-Liouvilleschen Derivierten \(D_\lambda f(x)\) mit beliebigem Index \(\lambda\) in bemerkenswerter Verallgemeinerung der Jacobischen Formel für die hypergeometrische Funktion \(F(- n, \alpha + n, \gamma, x)\) gezeigt: \[ F(\alpha,\beta,\gamma,x)=x^{1-\gamma}\frac{\varGamma(\gamma)}{\varGamma(\alpha)} D_{\gamma-\alpha}[x^{\alpha-1}(1-x)^{-\beta}], \] woraus die ganze klassische Theorie der \(F\)-Funktion einschließlich vieler späterer Anwendungen fast ohne Rechnung abgeleitet werden kann. Auf die berühmten Schwarzschen Resultate geht Verf. dabei allerdings nicht ein.