Zur Theorie der Jacobischen Polynome. (Q1464217)

Es seien \(\alpha\) und \(\beta\) positive Konstanten. Die Differentialgleichung \[ (1-x^2)y''+[\alpha-\beta-(\alpha+\beta)x]y'+\lambda y=0 \] kann nur dann eine samt ihrer Ableitung im Intervalle \(-1\leqq x\leqq 1\) stetige Lösung haben, wenn \[ \lambda=n(\alpha+\beta+n-1) \] ist, wo \(n\) eine nichtnegative ganze Zahl bedeutet. Das \(n\)-te Jacobische Polynom (mit den Parameterwerten \(\alpha-1\), \(\beta-1\)) ist dann eine solche Lösung. Der Beweis verläuft parallel dem Kneserschen (Tôhoku Math. J, 5, 1914) bezüglich der analogen Eigenschaft der Legendreschen Polynome, die dem Spezialfall \(\alpha =\beta= 1\) entsprechen.