Zur komplexen Multiplikation der lemniskatischen Funktionen. (Q1464220)

Für die lemniskatische Funktion \(\varphi (u) = 1: \sqrt{\wp (u)}\) (\(g_2 = 4, g_3 = 0\) ) wird unmittelbar aus der Differentialgleichung heraus folgende Formel bewiesen, die zuerst von Eisenstein aufgestellt und bei seinem Beweise des Reziprozitätsgesetzes der biquadratischen Reste benutzt worden ist: \[ \varphi (mu) = \varphi (u). \prod \frac {\varphi (u)^4 - \alpha^4}{1 - \alpha^4 \varphi (u)^4}, \quad \alpha = \varphi \left( \frac {4r\omega}m \right), \] worin \(\omega\) durch \(\varphi (\omega) = 1\) bestimmt ist und das Produkt über alle Zahlen \(r\) zu erstrecken ist, die einer der vier Gruppen eines vollständigen Restsystems nach dem ungeraden primären komplexen Primzahlmodul \(m\) angehören.