The equivalence of expansions in terms of orthogonal functions. (Q1464230)

Die Ergebnisse, die A. Haar (Math. Ann. 69 und 78; F. d. M; 41, 469, 1910 und 46, 571, 1917) und W. H. Young (Lond. M. S. Proc. 18; F. d. M, 47, 336, 343, 1919-20) hinsichtlich der Übertragung der bekannten Konvergenz- und Divergenzeigenschaften der Fourierreihen auf Entwicklungen nach Sturm-Liouvilleschen Funktionen, Legendreschen Polynomen, Besselschen Funktionen gewonnen haben, sollen nach ähnlichen Methoden auf allgemeine Orthogonalfunktionen \(\varphi_n (x)\) übertragen werden. Ist \(K_n(x, y) = \sum\limits_{\nu=1}^n\varphi_\nu (x) \varphi_\nu (y)\) und \(K^{(1)}_n (x, y)\) der gleiche Ausdruck für ein anderes Orthogonalsystem \(\varphi_\nu^{(1)} (x)\), so werden \(K_n, K^{(1)}_n\) \textit{äquivalent } genannt, wenn für jede samt ihrem Quadrat summable Funktion gleichmäßig in \(a \leqq x \leqq b\): \[ \lim_{n \to \infty} \int_a^b f(y)\{ K_n (x,y) - K^{(1)}_n(x,y)\} \, dy = 0; \tag{1} \] dann haben die Reihen von \(f\) nach \(\varphi_\nu \) und \(\varphi_\nu^{(1)} \) offenbar gleiche Konvergenzeigenschaften. Es wird nun gezeigt, daß diese Äquivalenz dann und nur dann statt hat, wenn (1) für sämtliche Funktionen \(f(y)\) einer vollständigen Folge gilt, und wenn \[ \int_a^b \{K_n(x,y) - K_n^{(1)} (x, y)\}^2 \, dy \] für alle \(n\) und \(a\leqq x \leqq b\) beschränkt ist. Fernerhin werden unter geeigneten speziellen Annahmen über \(K_n(x, y)\) charakteristische Konvergenzeigenschaften der Sinusreihen (Abhängigkeit der Konvergenz an einer Stelle nur von den \(f\)-Werten in der Nachbarschaft usw.) übertragen.