Über Systeme linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten. (Q1464231)

F. Riesz hat einige der Untersuchungen aus Hilberts Theorie der unendlich-vielen Veränderlichen, insbesondere diejenigen von E. Schmidt, Palermo Rend. 25; F. d. M. 39, 401 (JFM 39.0401.*), 1908, über lineare Gleichungssysteme für unendlichviele Unbekannte von konvergenter Quadratsumme unter der allgemeineren Bedingung untersucht, daß \(\sum\limits_{\alpha = 1}^\infty x_\alpha^p\) konvergieren soll, indem er sich dabei auf eine von Holder (Gött. Nachr. 1889, 38-47, F. d. M. 21, 260 (JFM 21.0260.*)) gegebene Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung stützte. Verf. zeigt, daß man in dieser ganzen Betrachtung von F. Riesz diese Konvergenzbedingung durch die folgende sehr viel allgemeinere und ihrer Art nach befriedigendere ersetzen kann. Er betrachtet zuerst im Kaum von n Dimensionen einen konvexen Körper \({\mathfrak K}_n\), der den Koordinatenanfangspunkt zum Mittelpunkt hat, und definiert eine Funktion \(D( x_1, \dots, x_n ) = 1\) für alle Punkte von \({\mathfrak K}_n = \lambda\) sowie für alle Punkte desjenigen Körpers, der aus \({\mathfrak K}_n\) durch ähnliche Erweiterung vom Nullpunkt aus im Verhältnis \(1 : \lambda\) hervorgeht. Diese Funktion hat also die folgenden drei Eigenschaften, die sie umgekehrt charakterisieren: \(1. D (\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda D( x_1,\dots, x_n)\), 2. \(D( x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n) \leqq D(x_1, \dots, x_n) + D(y_1, \dots, y_n), \) 3. aus \(D(x_1, \dots, x_n) = 0\) folgt \(x_1= 0, \dots, x_n = 0\). Aus dem Satz von der Existenz einer Stützebene wird die Existenz einer anderen Funktion \(\varDelta (u_1, \dots, u_n) \) gefolgert, die den Wert l hat, wenn \(u_1 x_1 + \cdots + u_n x_n = 1\) eine Stützebene von \({\mathfrak K}_n\) ist, und es wird die Ungleichung \(|u_1 x_1 + \cdots + u_nx_n| \leqq \varDelta (u_1, \dots, u_n) D(x_1, \dots, x_n) \) bewiesen, die die Cauchy-Schwarzsche und die Höldersche als ganz speziellen Fall enthält. Nach diesen Vorbereitungen wird nun ein konvexer Körper \({\mathfrak K}_n\) im Raume der unendlichvielen Veränderlichen zugrunde gelegt; dessen Schnitt mit \(x_{n+1} = 0, x_{n+2} = 0; \dots\) ist ein konvexer Körper \({\mathfrak K}_n\) im Raume der \(x_1, \dots, x_n\) es liegt also eine Folge solcher konvexen Körper von steigender Dimensionenzahl \({\mathfrak K}_1, {\mathfrak K}_2, \dots\) vor. Auf dieser Grundlage wird eine Funktion \(D\) und eine zugehörige \(\varDelta\) für einen Bereich im Raum der unendlichvielen Veränderlichen erklärt und die Auflösungstheorie von E. Schmidt durchgeführt.