On an integral equation. With a note by E. A. Milne. (Q1464249)

In dieser Abhandlung wird bewiesen, daß die Integralgleichung \[ f^\prime(x) = \int_0^\infty \frac{f(x+t) - f(x-t)}{2t} \, e^{-t} \, dt \tag{1} \] unter gewissen Einschränkungen nur die Lösung \[ f(x) = ax^2 + bx + c \] zuläßt. Der Verf. setzt \(f^\prime (x) = \varPhi (x)\), \(\int_0^x \varPhi(u) \cdot du = \varPhi_1(x)\), und bezeichnet mit \(\varOmega(x)\) die Schwankung von \(\varPhi(u)\) im Intervall \(-x \leqq u \leqq x\). Die obige Gleichung kann dann geschrieben werden: \[ \int_0^\infty \frac{\varPhi_1(x+t) - \varPhi_1(x-t) 2t \varPhi(x)}{2t} \, e^{-t} \, dt = 0. \tag{2} \] Mittels einer Reihe von Hilfssätzen beweist hierauf der Verf. den Satz: Jede gerade stetige Lösung von (2), welche der Bedingung \[ \varOmega(x + 1) - \varOmega(x) = o(\varOmega(x) + 1) \tag{C} \] genügt, ist eine Konstante. Hieraus ergibt sieh dann weiter: Ist \(\varPhi(x)\) eine Lösung von (2) und genügt die Funktion \[ \varPhi(\alpha + x) + \varPhi(\alpha - x) \] der Bedingung \((C)\) für beliebige \(\alpha\), dann ist \(\varPhi(x) = ax+b\) und schließlich: Wenn eine Lösung \(f(x)\) der Gleichung (1) eine stetige und beschränkte zweite Ableitung \(f^{\prime\prime}(x)\) besitzt, so ist \(f(x)\) eine quadratische Funktion von \(x\). In dem Anhang weist E. A. Milne auf die physikalische Bedeutung der Gleichung (1) hin.