Riflessioni intorno ai problemi numerativi concernenti le curve algebriche. (Q1464364)

Dieser Aufsatz bildet eine wichtige Fortsetzung der Untersuchungen, welche der Verf. seit einigen Jahren unternommen hat, um der abzählenden Geometrie einen festen Boden zu sichern (eine Zusammenfassung ist in seinen ``Vorlesungen über algebr. Geometrie'' [Leipzig, 1921] enthalten, vgl. diesen Band der F. d. M. S. 687). Um die abzählenden Probleme zu erfassen, welche die Kurventheorie betreffen, schlägt er eine neue einfache Methode vor, welche in jedem Falle auf eine Rekursionsformel führt; um die Natur derselben klarzulegen, wendet er dieselbe auf die folgenden Probleme an, die eine Kurve der Ordnung \(n\) vom Geschlecht \(p\) betreffen: 1. Zahl ihrer Quadrisekanten; 2. Ordnung der Regelfläche, welche aus ihren Trisekanten gebildet wird; 3. Zahl ihrer Tangenten, welche die Kurve anderswo schneiden; 4. Zahl der Trisekanten der Kurve in \(R_4\). Die Resultate sind bekannt und durch folgende Formeln gegeben: \[ \begin{aligned} &\frac{(n- 2)(n - 3)^2 (n- 4)}{12}-\frac{(n-3)(n-4)}2p+ \frac{p(p - 1)}2;\\ &\frac{(n-1)(n-2)(n-3)}3-(n-2)p; \\ &2(n- 2)(n- 3) + 2p (n- 6); \\ &\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}6 -(n-4)p. \end{aligned} \]