Sulla teoria generale delle trasformazioni delle superficie per inviluppe di sfere. (Q1464453)

Die Fortsetzung seiner früheren Untersuchungen (Annali di Mat. (3) 29, 17; F. d. M. 47, 642 (JFM 47.0642.*),1919-20) über die Ribaucour'schen Transformationen hat den Verf. veranlaßt, die allgemeinen Transformationen \(T\) durch Kugeleinhüllende zu erforschen. In der vorliegenden Abhandlung wird eine erste Untersuchung über diese Verallgemeinerung geliefert. Verf. betrachtet die zwei Brennflächenschalen \(S\), \(S_1\) einer Kugeleinhüllenden und als entsprechend auf derselben die Punkte \(P\) und \(P_1\), wo eine Kugel ihre Einhüllende berührt. Ist \(t\) eine Tangente von \(S\) im Punkte \(P\), so existiert eine ganz bestimmte Tangente \(t\) von \(S_1\) in \(P_1\) welche \(t\) schneidet. \(t\) und \(\overline t\) sind i. A. nicht entsprechende Geraden; doch existiert eine ganz bestimmte Tangente \(t'\) im Punkte \(P\) von \(S\), die \(t\) entspricht. \(t'\) wird zu \(t\) ``assoziiert'' genannt. Diese Korrespondenz ist i. A. nicht involutorisch; wenn \(t'\) mit \(t\) zusammenfällt, so wird sie ``Hauptrichtung'' genannt. Zwei Liniensysteme \(\alpha\), \(\beta\) auf \(S\) und \(S_1\) nennt man ``assoziiert'', wenn in jedem Punkt \(P\) die Tangente der Linie \(\alpha\), welche durch \(P\) geht, der Tangente an \(\beta\) in demselben Punkt assoziiert ist. ``Hauptlinie'' ist eine solche, die als Tangenten Hauptrichtungen besitzt. Bei jeder Transformation \(T\) einer Fläche \(S\) mittelst Kugeleinhüllenden existiert ein Doppelsystem von Hauptlinien. Mit solchen Transformationen sind zwei Linienkongruenzen verbunden: Die erste \((G)\) besteht aus den Geraden \(G = PP_1\), die zweite \((G')\) besteht aus den Polaren der Geraden \(G\) in Bezug auf die entsprechenden Kugeln der Einhüllenden. Sind \(M\) und \(M_1\) die sphärischen Bilder von \(P\) und \(P_1\) in Bezug auf eine Kugelfläche \(\varSigma\), so sind \(M\) und \(M_1\) entsprechende Punkte in einer neuen Transformation, welche das ``sphärische Bild'' der gegebenen \(T\) ist. Die Geraden \(MM_1\) und ihre Polaren in Bezug auf \(\varSigma\) erzeugen natürlich zwei neue Kongruenzen. Nur die Ribaucour'schen Transformationen besitzen die Eigenschaft, daß ihre Hauptlinien orthogonal sind. Im bejahenden Sinne wird ferner die Frage beantwortet: Sei über \(\varSigma\) eine beliebige Korrespondenz gegeben; kann man dann eine Transformation \(T\) finden, wovon die gegebene das sphärische Bild ist? Verf. gibt auch eine Methode an, um die in Rede stehende Transformation \(T\) stets zu bestimmen. Wir führen endlich die folgende Frage an, auf welche Verf. eine Antwort gibt: Gibt es Transformationen \(T\), welche zwei involutorisch assoziierte Systeme besitzen?