Ungleichheiten von H. A. Schwarz und A. Schur für Raumkurven mit vorgeschriebener Krümmung. (Q1464473)

Es werden der Reihe nach folgende Sätze bewiesen (man findet sie in etwas veränderter Form auch in den \S\S\ 28-30 der Vorlesungen über Differentialgeometrie des Verf. Bd. I, zweite Auflage 1924): I. Ist (in vektorieller Schreibweise, bezogen auf die Bogenlänge \(\sigma\) als Parameter) \(\xi(\sigma)\) eine Kurve auf der Einheitskugel, deren Länge \(\lambda \leqq \dfrac \pi 2\) ist, und ist auf dieser Kurve eine Massenverteilung mit der (positiven) Dichte \(\varrho(\sigma)\) vorgeschrieben, so ist der Winkel zwischen den Vektoren \(\xi(0)\) und \( \int\limits _0^\lambda \xi(\sigma)\varrho(\sigma)\,d\sigma\) dann und nur dann am größten, wenn die Kurve einen Großkreisbogen schlicht bedeckt. II. Es sei ein Kurvenbogen, bei dem der Krümmungshalbmesser \(\varrho(s)>0\) als Funktion des Bogens vorgeschrieben ist und die Gesamtkrümmung \(\lambda= \int\limits _0^l \dfrac {ds}{\varrho}\leqq \dfrac \pi 2\) ist. Dann erreicht der Winkel zwischen der Tangente \(x'(0)\) und dem Fahrstrahl \(x(s)-x(0)\) dann und nur dann seinen größten Wert, wenn die Kurve eben ist. III. Die Sehne eines Kurvenbogens mit der natürlichen Gleichung \(\varrho= \varrho(s)>0\) und der Gesamtkrümmung \(\lambda\leqq \dfrac \pi 2\) ist dann und nur dann am kleinsten, wenn der Kurvenbogen ganz in einer Ebene liegt. IV (Satz von A. Schur). Ein ebener Kurvenbogen begrenze mit seiner Sehne einen Eibereich. Dann wird bei jeder ``Verwindung'', die die Längen und Krümmungen des Bogens unversehrt läßt, seine Sehne länger. V (Satz von H. A. Schwarz). Jeder unebene Kurvenbogen mit der festen Krümmung \(\dfrac 1\varrho\) über einer Sehne \(r < 2\varrho\) ist entweder kürzer als der kleinere oder länger als der größere Bogen eines gleichgekrümmten Kreises mit der gegebenen Sehne. VI. Alle Kurven, die in einem Punkte \(x(0)\) mit der Richtung \(x'(0)\) beginnen, die natürliche Gleichung \(\varrho=\varrho(s) > 0\) und die Gesamtkrümmung \(\lambda = \int\limits_0^l \dfrac{ds}\varrho\leqq \dfrac \pi 2\) besitzen, verlaufen in einem Drehkörper, dessen Drehachse durch \(x(0)\) geht und die Richtung \(x'(0)\) hat und die begrenzt wird einerseits durch die Drehfläche, deren Meridiankurven die ebenen Kurven sind, die den Voraussetzungen genügen, und anderseits die Drehfläche, deren Meridiankurven die ebenen Evolventen dieser ebenen Kurvenbogen sind, die in deren Endpunkten \(x(l)\) beginnen. (IV 15.)