Über konvexe Gebilde. II, III. (Q1464557)

Ein Referat über diese beiden Arbeiten kann bei der Fülle ihrer z. T. unzusammenhängenden Einzelheiten kaum seinen Zweck erfüllen. Es muß vielmehr auf die Arbeiten selbst verwiesen werden. Der Verf. unternimmt es vor allem, ausgezeichnete Sehnen und Schnittebenen vorgeschriebener Richtung zu definieren und in Beziehung zu setzen. In II werden ebene konvexe Bereiche, in III konvexe Körper untersucht (in beiden Fällen nur solche mit inneren Punkten). In II\(_1\) werden 12 Sehnen vorgeschriebener Richtung hervorgehoben, z. B. die durch den Flächenschwerpunkt und die durch den Randschwerpunkt gehende, ferner die Flächenhalbierende, ebenso die Randhalbierende, ferner die Mittellinie zu den beiden Stützgeraden der Richtung usw. In Satz 11 wird die stetige Abhängigkeit von der Richtung ausgesprochen, in Satz 12 behauptet, daß es für je zwei Durchmesser verschiedener Art eine Richtung gibt, für die sie zusammenfallen. Es sei erwähnt noch der Satz~18: ``Jeder konvexe Bereich läßt sich durch zwei zueinander senkrechte Sehnen in vier gleiche Teile zerlegen'' und der Satz~35: ``In jeden konvexen Bereich läßt sich mindestens ein Quadrat einbeschreiben'', ein Satz übrigens, den Toeplitz schon 1911 in Solothurn vorgetragen hat. Sätze ähnlicher Art für drei Dimensionen finden sich im Teil~III, der mit einer großen Zahl noch offener Fragen schließt.