Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et de la démonstration d'une inégalité de Minkowski. (Q1464578)

Es sei \(p\) der Umfang einer geschlossenen, ebenen konvexen Kurve \(C\), \(f\) der zugehörige Inhalt, \(r\) der Radius des größten Innen-, \(R\) derjenige des kleinsten Außenkreises von \(C\); es gilt dann nicht nur in bekannter Weise \[ \frac{p^2}{4\pi}-f\geqq 0, \] sondern auch schärfer \[ \frac{p^2}{4\pi}-f\geqq\frac\pi4(R-r)^2. \] Der Beweis wird in einfacher Weise mit Hilfe von Parallelkurven geführt; in ähnlicher Weise wird dann auch noch der Minkowskische Satz über die Kugel als Fläche kleinsten ``Konturintegrals'' unter allen geschlossenen konvexen Flächen gleichen Inhalts bewiesen und verschärft. (Vgl. das Ref. auf S.~591.)